Sabtu, 21 November 2009

Rumus Perbandingan

Rumus Perbandingan
Kasus 1
    
Titik P terletak pada ruas garis AB, kita katakan bahwa P membagi AB di dalam dengan perbandingan
AP : PB = 3 : 2, dari perbandingan ini tentu saja kita dapat menyatakan bentuk perbandingan-perbandingan lainnya yang ekuivalen. Misalnya,
    AP : AB = 3 : 5
    AB : BP = 5 : -2 atau AB : BP = -5 : 2, tanda  negatif muncul karena AB dan BP berlawanan arah.
    AP=\frac{3}{2}PB
Kasus 2
    
Titik P terletak pada perpanjangan AB, untuk kasus ini kita katakan bahwa P membangi AB di luar dengan perbandingan AP : PB = 6 : - 2, dalam hal ini arah AP ke kanan kita pilih positif dan arah PB ke kiri kita beri tanda negatif. Silahkan tuliskan perbandingan-perbandingan lain yang ekuivalen.

Perbandingan Vektor


Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan AP : PB = m : n, kemudian kita nyatakan vektor OA, OP, dan OB berturut-turut sebagai a, p, b. Kita akan menyatakan p dalam a dan b, serta koordinat titik P jika A, B, dan P ketiga-tiganya titik pada bidang atau ketiga-tiganya titik dalam ruang.

Sekarang kita pandang AP dan PB sebagai vektor, dari perbandingan AP : PB = m : n maka,

    \bar{AP}=\frac{m}{n}\bar{PB}
    \bar{p}-\bar{a}=\frac{m}{n}(\bar{b}-\bar{p})
    n\bar{p}+m\bar{p}=n\bar{a}+m\bar{b}
    (m+n)\bar{p}=n\bar{a}+m\bar{b}
    \bar {p}= \frac{n\bar{a}+m\bar{b}} {m+n}

Rumus ini berlaku juga untuk kasus P membagi AB di luar atau P terletak pada perpanjangan AB, dengan memilih m atau n bertanda negatif.

Menyatakan perbandingan AP : PB = m : n dalam bentuk,
     
mungkin dapat membantu Anda untuk menuliskan kembali rumus perbandingan vektor.

Contoh Soal
Diketahui titik-titik dalam ruang A(6, -7, 2), B(2, -3, 6). Apabila titik P membagi AB dengan perbandingan AP : PB = 3 : 1, tentukanlah p dalam komponennya dan koordinat titik P.

Jawab
Kita tetapkan a = (6, -7, 2) sebagai vektor posisi titik A, b = (2, -3, 6) vektor posisi titik B, dan p vektor posisi titik P. Dari perbandingan yang diberikan AP : PB = 3 : 1 maka
\bar{p}=\frac{3b+a}{3+1}=\frac{3(2,\ -3,\ 6)+(6,\ -7,\ 2)}{4}

\bar{p}=\frac{(6,\ -9,\ 18)+(6,\ - 7,\ 2)}{4}=\frac{(12,\ -16,\ 20)}{4}

\bar{p}=(3,\ -4,\ 5)
Karena p merupakan vektor posisi titik P maka koordinat titik P adalah (3, -4, 5).
Anda bisa menggunakan cara lain untuk meyelesaiakn soal ini, dengan mengubah perbandingan
AP : PB = 3 : 1 dalam bentuk yang ekuivalen AP=\frac{3}{4}AB silahkan dilanjutkan ...

1 komentar: