Permendiknas No. 75 Tahun 2009 tentang Ujian Nasional 2010
Senin, 30 November 2009
Senin, 23 November 2009
Proyeksi Ortogonal
Proyeksi Ortogonal
Proyeksi Skalar Ortogonal
Pada gambar 1, titik ujung a diproyeksikan terhadap b kemudian dibentuk c. Karena c diperoleh dengan cara memproyeksikan a terhadap b maka c dinamakan vektor proyeksi. Kita akan mencari hubungan |c| dengan |a| dan |b|. Dengan perbandingan trigonometri kita peroleh hubungan,
|c| = |a| cos t (1), dari rumus sudut antara dua vektor diketahui bahwa
(2), subtitusi rumus (2) pada rumus (1) maka diperoleh,
, karena besar sebuah vektor selalu positif atau sama dengan nol sedangkan a . b mungkin negatif apabila t sudut antara a dan b berada pada interval seperti ditunjukkan oleh gambar (2) maka besar atau panjang vektor proyeksi a pada b dirumuskan dengan,
Sedangkan bentuk
(tanda nilai mutlak dihilangkan) dinamakan proyeksi skalar a pada b, nilainya mungkin negatif, nol, atau positif.
Proyeksi Ortogonal Sebuah Vektor pada Vektor Lain
Pada bagian ini kita akan mencari hubungan antara c, a dan b.
Perhatikan kembali gambar di atas,
maka Proyeksi Skalar Ortogonal
Pada gambar 1, titik ujung a diproyeksikan terhadap b kemudian dibentuk c. Karena c diperoleh dengan cara memproyeksikan a terhadap b maka c dinamakan vektor proyeksi. Kita akan mencari hubungan |c| dengan |a| dan |b|. Dengan perbandingan trigonometri kita peroleh hubungan,
|c| = |a| cos t (1), dari rumus sudut antara dua vektor diketahui bahwa
(2), subtitusi rumus (2) pada rumus (1) maka diperoleh,
, karena besar sebuah vektor selalu positif atau sama dengan nol sedangkan a . b mungkin negatif apabila t sudut antara a dan b berada pada interval seperti ditunjukkan oleh gambar (2) maka besar atau panjang vektor proyeksi a pada b dirumuskan dengan,
Sedangkan bentuk
(tanda nilai mutlak dihilangkan) dinamakan proyeksi skalar a pada b, nilainya mungkin negatif, nol, atau positif.
Proyeksi Ortogonal Sebuah Vektor pada Vektor Lain
Pada bagian ini kita akan mencari hubungan antara c, a dan b.
Perhatikan kembali gambar di atas,
- c searah dengan b jika ditunjukkan oleh gambar (1)
- c berlawanan arahdengan b jika ditunjukkan oleh gambar (2)
- d = c - a dan d tegak lurus b akibatnya
- d . b = 0 (c - a).b = 0 (kb - a). b = 0 kb.b - a . b = 0 k|b|2 = a . b
Jadi apabila c merupakan proyeksi a terhadap b maka,
Minggu, 22 November 2009
Perkalian Skalar**
Perkalian Skalar
a dan b membentuk sudut sebesar t, perkalian skalar antara a dan b didefinisikan sebagai berikut,
a . b = |a||b| cos t
Keadaan khusus perkalian skalar,
a . b = (a1, a2, a3).(b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Perhatikan bahwa hasil perkalian skalar dua vektro adalah skalar.
Sifat-sifat Perkalian skalar
Misalkan a, b, c ketiganya vektor pada bidang atau ketiganya vektor dalam ruang, dan k skalar real maka berlaku,
a dan b membentuk sudut sebesar t, perkalian skalar antara a dan b didefinisikan sebagai berikut,
a . b = |a||b| cos t
Keadaan khusus perkalian skalar,
- Jika t = 0o maka a . b = |a||b|
- Jika t = 90o maka a . b = 0
- Jika t = 180o maka a . b = - |a||b|
a . b = (a1, a2, a3).(b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
Perhatikan bahwa hasil perkalian skalar dua vektro adalah skalar.
Sifat-sifat Perkalian skalar
Misalkan a, b, c ketiganya vektor pada bidang atau ketiganya vektor dalam ruang, dan k skalar real maka berlaku,
- a.b = b.a (komutatif)
- a.(b + c) = a.b + a.c (distributif)
- a.(b - c) = a.b - a.c (distributif)
- ka . b = k(a . b) = a . kb
Contoh
Hitunglah hasil kali skalar vektor AB dan vektor AC
Jawab
|AB| = 4, |AC| = 5 (gunakan phytagoras), walaupun besar sudut BAC (sudut antara AB dan AC) tidak diketahui tetapi dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa , maka
AB . AC = |AB||AC| cos BAC = 4.5. = 16
Sudut antara Dua Vektor
Dari definisi a . b = |a||b| cos t maka
Perhatikan bahwa sudut antara dua vektor adalah sudut yang dibentuk dengan cara mengimpitkan titik pangkal kedua vektor itu.
Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(1, 1, 2), B(0, -1, -2), dan C(2, 1, 2). Tentukanlah cosinus sudut ABC.
Jawab
Sudut ABC dibentuk oleh vektor BA dan vektor BC (pembentuknya bukan vektor AB dan BC).
Masing-masing vektor dalam komponennya adalah BA = a - b = (1, 1, 2) - (0, -1, -2) = (1, 2, 4),
BC = c - b = (2, 1, 2) - (0, -1, -2) = (2, 2, 4). Maka
Sifat Ortogonalis
Misalkan a dan b keduanya bukan vektor nol. Jika a tegak lurus terhadap b maka a . b = 0 mengapa?
Berikut adalah contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan sifat ortogonalis.
Diketahui a = ti - 3j + 2k tegak lurus terhadap b = ti + tj - 2k. Tentukan nilai t.
Jawab
Lebih mudah menyatakan a = (t, -3, 2) dan b = (t, t, -2), karena a tegak lurus b maka a . b = 0
t2 - 3t -4 = 0 (t - 4)(t + 1) = 0, jadi nilai t = 4 atau t = -1.
Hitunglah hasil kali skalar vektor AB dan vektor AC
Jawab
|AB| = 4, |AC| = 5 (gunakan phytagoras), walaupun besar sudut BAC (sudut antara AB dan AC) tidak diketahui tetapi dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa , maka
AB . AC = |AB||AC| cos BAC = 4.5. = 16
Sudut antara Dua Vektor
Dari definisi a . b = |a||b| cos t maka
Perhatikan bahwa sudut antara dua vektor adalah sudut yang dibentuk dengan cara mengimpitkan titik pangkal kedua vektor itu.
Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(1, 1, 2), B(0, -1, -2), dan C(2, 1, 2). Tentukanlah cosinus sudut ABC.
Jawab
Sudut ABC dibentuk oleh vektor BA dan vektor BC (pembentuknya bukan vektor AB dan BC).
Masing-masing vektor dalam komponennya adalah BA = a - b = (1, 1, 2) - (0, -1, -2) = (1, 2, 4),
BC = c - b = (2, 1, 2) - (0, -1, -2) = (2, 2, 4). Maka
Sifat Ortogonalis
Misalkan a dan b keduanya bukan vektor nol. Jika a tegak lurus terhadap b maka a . b = 0 mengapa?
Berikut adalah contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan sifat ortogonalis.
Diketahui a = ti - 3j + 2k tegak lurus terhadap b = ti + tj - 2k. Tentukan nilai t.
Jawab
Lebih mudah menyatakan a = (t, -3, 2) dan b = (t, t, -2), karena a tegak lurus b maka a . b = 0
t2 - 3t -4 = 0 (t - 4)(t + 1) = 0, jadi nilai t = 4 atau t = -1.
Sabtu, 21 November 2009
Pengertian Matriks
Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang atau persegi berdasarkan baris dan kolom dengan pembatas di sebelah kiri dan kanan kurung siku atau kurung lengkung.
Contoh Matriks
Sebuah matriks dinamai menggunakan huruf kapital misalnya: A, B, C, ...
Bilangan penyusun matriks dinamakan unsur atau elemen atau entri matriks. Posisi dari sebuah unsur matriks dinyatakan dalam baris dan kolom. Pada contoh matriks di atas
2 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-1
3 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-2
0 merupakan unsur barsi ke-2 kolom ke-1
-1 unsur baris ke-2 kolom ke-2
Secara umum unsur baris ke-i kolom ke-j unsur matriks A ditulis atau dinotasikan dengan aij .
Ukuran sebuah matriks dinamakan ordo matriks, dinyatakan sebagai m x n dengan,
m menyatakan banyak baris, dan
n menyatakan banyak kolom.
Matriks contoh di atas berordo 2 x 2
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang atau persegi berdasarkan baris dan kolom dengan pembatas di sebelah kiri dan kanan kurung siku atau kurung lengkung.
Contoh Matriks
Sebuah matriks dinamai menggunakan huruf kapital misalnya: A, B, C, ...
Bilangan penyusun matriks dinamakan unsur atau elemen atau entri matriks. Posisi dari sebuah unsur matriks dinyatakan dalam baris dan kolom. Pada contoh matriks di atas
2 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-1
3 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-2
0 merupakan unsur barsi ke-2 kolom ke-1
-1 unsur baris ke-2 kolom ke-2
Secara umum unsur baris ke-i kolom ke-j unsur matriks A ditulis atau dinotasikan dengan aij .
Ukuran sebuah matriks dinamakan ordo matriks, dinyatakan sebagai m x n dengan,
m menyatakan banyak baris, dan
n menyatakan banyak kolom.
Matriks contoh di atas berordo 2 x 2
Jenis Matriks Khusus
Jenis Matriks Khusus
1. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks persegi adalah matriks yang memilki banyak baris sama dengan banyak kolom.
Contoh matriks persegi 3 x 3
4, 2, 3 adalah unsur-unsur diagonal utama, sedangkan -5, 2, 9 adalah unsur-unsur diagonal samping.
Sebuah matriks persegi A berordo n x n disebut juga sebagai matriks berordo n.
2. Matriks Segitiga
Contoh matriks segitiga atas
Contoh matriks segitiga bawah
3. Matriks Diagonal
Contoh matriks diagonal
4. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks satuan adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya sama dengan 1.
Matriks satuan ordo 2 dinotasikan dengan I2
Matriks satuan ordo 3 dinotasikan dengan I3
5. Matriks Transpos
Misalkan
maka transpose dari matriks A adalah
Jika A matriks berordo m x n, maka transpos dari A dinotasikan dengan At adalah matriks yang unsur- unsurnya diperoleh dari matriks A dengan cara menyusun unsur-unsur baris ke 1, 2, ..., m matriks A menjadi unsur-unsur kolom ke 1, 2, 3, ..., m pada At. Jadi matriks At berordo n x m.
6. Kesamaan Dua Matriks
Matriks A dan B dikatakan sama apabila:
7. Negatif dari Sebuah Matriks
Negatif dari matriks A adalah -A yaitu matriks yang unsur-unsurnya negatif dari unsur-unsur matriks A.
1. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks persegi adalah matriks yang memilki banyak baris sama dengan banyak kolom.
Contoh matriks persegi 3 x 3
4, 2, 3 adalah unsur-unsur diagonal utama, sedangkan -5, 2, 9 adalah unsur-unsur diagonal samping.
Sebuah matriks persegi A berordo n x n disebut juga sebagai matriks berordo n.
2. Matriks Segitiga
Sebuah matriks persegi dengan semua unsur di bawah diagonal utama sama dengan nol dinamakan matriks segitiga atas. Sedangkan matriks persegi dengan semua unsur di atas diagonal utama sama dengan nol dinamakan matriks segitiga bawah.
Contoh matriks segitiga atas
Contoh matriks segitiga bawah
3. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua unsurnya sama dengan nol, kecuali unsur diagonal utama tidak semuanya nol.
Contoh matriks diagonal
4. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks satuan adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya sama dengan 1.
Matriks satuan ordo 2 dinotasikan dengan I2
Matriks satuan ordo 3 dinotasikan dengan I3
5. Matriks Transpos
Misalkan
maka transpose dari matriks A adalah
Jika A matriks berordo m x n, maka transpos dari A dinotasikan dengan At adalah matriks yang unsur- unsurnya diperoleh dari matriks A dengan cara menyusun unsur-unsur baris ke 1, 2, ..., m matriks A menjadi unsur-unsur kolom ke 1, 2, 3, ..., m pada At. Jadi matriks At berordo n x m.
6. Kesamaan Dua Matriks
Matriks A dan B dikatakan sama apabila:
- Matriks A dan B berordo sama, dan
- unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan B bernilai sama.
7. Negatif dari Sebuah Matriks
Negatif dari matriks A adalah -A yaitu matriks yang unsur-unsurnya negatif dari unsur-unsur matriks A.
Determinan Matriks Ordo 2
Determinan Matriks Persegi Ordo 2
Dalam bagian ini hanya dibahas tentang determinan matriks persegi ordo 2.
Misalkan A matriks persegi ordo 2
dengan menggunakan cara di atas maka mudah bagi kita untuk mencari determinan misalnya matriks
det P = -4.-2 - 5. 2 = 8 - 10 = -2
Setiap matriks persegi ordo 2 memiliki determinan yang sifatnya unik atau tunggal, karena sifat tersebut maka determinan sesungguhnya adalah fungsi dari himpunan matriks persegi ke himpunan bilangan real.
Beberapa sifat determinan yang mudah ditunjukkan kebenarannya untuk matriks persegi ordo 2.
det B = - det ADalam bagian ini hanya dibahas tentang determinan matriks persegi ordo 2.
Misalkan A matriks persegi ordo 2
dengan menggunakan cara di atas maka mudah bagi kita untuk mencari determinan misalnya matriks
det P = -4.-2 - 5. 2 = 8 - 10 = -2
Setiap matriks persegi ordo 2 memiliki determinan yang sifatnya unik atau tunggal, karena sifat tersebut maka determinan sesungguhnya adalah fungsi dari himpunan matriks persegi ke himpunan bilangan real.
Beberapa sifat determinan yang mudah ditunjukkan kebenarannya untuk matriks persegi ordo 2.
- det A = det At
- det (AB) = det A x det B
- det(kA) = k2.det A, dengan k skalar real
- Jika B matriks yang diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan baris 1 dan baris 2, atau kolom 1 dan kolom 2, maka
Silahkan Anda coba sendiri untuk menunjukkannya.
Invers Matriks
Invers Matriks
Pembahasan mengenai invers matriks, akan dibatasi hanya untuk matriks persegi ordo 2.
Perhatikan ilustrasi berikut,
dari ilustrasi di atas kita dapat mencatat bahwa A x B = B x A = I.
Definisi
Misalkan A matriks persegi ordo 2, jika dapat ditemukan matriks B ordo 2 yang bersifat A x B = B x A = I maka B dinamakan invers dari A dinotasikan dengan A-1 , jadi B = A-1.
Berdasarkan definisi ini juga bahwa A invers dari B, jadi A = B-1.
Menentukan Invers Matriks Ordo 2
asalkan det A = ad - bc 0.
Jika A matriks persegi yang determinannya sama dengan 0, A dinamakan matriks singular dan A tidak memilki invers.
Sedangkan matriks persegi yang determinannya tidak sama dengan 0 dinamakan matriks non singular dan ia memiliki invers.
Persamaan Matriks
Perhatikan persamaan
AX = B
dengan A, B, matriks persegi ordo 2 yang diketahui dan X peubah matriks persegi ordo dua yang akan dicari. Kita dapat menganalogikan bentuk persamaan di atas dengan bentuk persamaan linear
ax = b dengan a, b bilangan real, a 0 dan x peubah real. Dalam penyelesaiannya kalikanlah kedua ruas persamaan dengan invers dari a yaitu maka akan didapat x = .
Untuk menyelesaiakan persamaan AX = B, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A-1 dari sebelah kiri,
A-1. AX = A-1. B (A-1. A)X = A-1. B
I. X = A-1. B
X = A-1. B
Jadi jika AX = B maka X = A-1B, asalkan det A 0
Bentuk kedua adalah persamaan
XA = B, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A-1 dari sebelah kanan
XA. A-1 = B.A-1 X(A. A-1) = B.A-1
X.I = B.A-1
X = B.A-1
Jadi jika XA = B maka X = BA-1, asalkan det A 0
Pembahasan mengenai invers matriks, akan dibatasi hanya untuk matriks persegi ordo 2.
Perhatikan ilustrasi berikut,
dari ilustrasi di atas kita dapat mencatat bahwa A x B = B x A = I.
Definisi
Misalkan A matriks persegi ordo 2, jika dapat ditemukan matriks B ordo 2 yang bersifat A x B = B x A = I maka B dinamakan invers dari A dinotasikan dengan A-1 , jadi B = A-1.
Berdasarkan definisi ini juga bahwa A invers dari B, jadi A = B-1.
Menentukan Invers Matriks Ordo 2
asalkan det A = ad - bc 0.
Jika A matriks persegi yang determinannya sama dengan 0, A dinamakan matriks singular dan A tidak memilki invers.
Sedangkan matriks persegi yang determinannya tidak sama dengan 0 dinamakan matriks non singular dan ia memiliki invers.
Persamaan Matriks
Perhatikan persamaan
AX = B
dengan A, B, matriks persegi ordo 2 yang diketahui dan X peubah matriks persegi ordo dua yang akan dicari. Kita dapat menganalogikan bentuk persamaan di atas dengan bentuk persamaan linear
ax = b dengan a, b bilangan real, a 0 dan x peubah real. Dalam penyelesaiannya kalikanlah kedua ruas persamaan dengan invers dari a yaitu maka akan didapat x = .
Untuk menyelesaiakan persamaan AX = B, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A-1 dari sebelah kiri,
A-1. AX = A-1. B (A-1. A)X = A-1. B
I. X = A-1. B
X = A-1. B
Jadi jika AX = B maka X = A-1B, asalkan det A 0
Bentuk kedua adalah persamaan
XA = B, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A-1 dari sebelah kanan
XA. A-1 = B.A-1 X(A. A-1) = B.A-1
X.I = B.A-1
X = B.A-1
Jadi jika XA = B maka X = BA-1, asalkan det A 0
Menyelesaiakan SPL Dua Peubah
Menyelesaikan SPL Dua Peubah
A. Menyelesaiakan SPLDP dengan Invers Matriks
Pandanglah SPL :
ax + by = c
dx + ey = f
sistem tersebut ekuivalen dengan persamaan matriks
maka persmaan matriks di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
AX = K, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A-1 dari sebelah kiri.
Bentuk akhir yang kita peroleh adalah
X = A-1K, dengan sifat kesamaan matriks maka penyelesaian persamaan diperoleh.
Contoh
Carilah penyelesaian SPL:
3x - y = 10
4x + 3y = - 4
Penyelesaian
Ubahlah SPL ke dalam persamaan matriks,
kalikan kedua ruas persamaan dengan invers dari A,
berdasarkan sifat kesamaan matriks maka haruslah x = 2, dan y = -4.
A. Menyelesaiakan SPLDP dengan Determinan Matriks
Sekali lagi kita perhatikan SPL
ax + by = c
dx + ey = f
dan kita misalkan
penyelesaian diperoleh dengan cara berikut,
, dan
Silahkan Anda coba cara ini untuk menyelesaikan contoh soal di atas.
A. Menyelesaiakan SPLDP dengan Invers Matriks
Pandanglah SPL :
ax + by = c
dx + ey = f
sistem tersebut ekuivalen dengan persamaan matriks
maka persmaan matriks di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
AX = K, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A-1 dari sebelah kiri.
Bentuk akhir yang kita peroleh adalah
X = A-1K, dengan sifat kesamaan matriks maka penyelesaian persamaan diperoleh.
Contoh
Carilah penyelesaian SPL:
3x - y = 10
4x + 3y = - 4
Penyelesaian
Ubahlah SPL ke dalam persamaan matriks,
kalikan kedua ruas persamaan dengan invers dari A,
berdasarkan sifat kesamaan matriks maka haruslah x = 2, dan y = -4.
A. Menyelesaiakan SPLDP dengan Determinan Matriks
Sekali lagi kita perhatikan SPL
ax + by = c
dx + ey = f
dan kita misalkan
penyelesaian diperoleh dengan cara berikut,
, dan
Silahkan Anda coba cara ini untuk menyelesaikan contoh soal di atas.
Langganan:
Postingan (Atom)