Senin, 01 Februari 2010

Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika
Contoh barisan aritmetika:
    a. -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...
    b. 10, 7, 4, 1, -2, -5, ...
u_{1},u_{2}, u_{3}, u_{4}, \ ...\, u_{n}  disebut barisan aritmetika apabila
u_{2}\ - \  u_{1}\ = \ u_{3}\ - \  u_{2}\ = \ u_{4}\ - \  u_{3}\ = \ ... \ = \ u_{n}\ - \  u_{n-1}\ = \ b \, dengan b bilangan real disebut beda. Karena sifat ini maka dapat dibuktikan bahwa:
u_{n} \ = \ a + (n-1)b \ , dengan a = u_{1} atau suku pertama, persamaan ini dinamakan rumus suku ke-n barisan aritmetika.
Varians Rumus Suku ke-n barisan aritmetika:
    1. \ u_{n} \ = \ bn + (a-b)\
    2. \ u_{n} \ = \ bn + c\ ,dengan\ c \ = a-b
dari varians rumus 2) b adalah beda barisan, b + c = a suku ke-1 barisan

Contoh:
    1. Tentukan rumus suku ke-n barisan: -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...
Penyelesaian
    Dari barisan itu diketahui a = -2, dan b = 0 - (-2) = 2 maka rumus suku ke-n barisan itu adalah:  
    u_{n}\ = \ 2n + (-2 - 2)\ = \ 2n - 4 \

    2.  Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika u_{n} = 8-3n . Tentukan beda dan suku pertama barisan         itu.
 Penyelesaian
    Beda barisan adalah koefisien dari n pada rumus u_{n} , jadi b = -3, dan suku pertama = 8 - 3 = 5

Suku Tengah
Apabila banyak suku pada suatu barisan aritmetika ganji, maka barisan itu memiliki suku tengah u_{\frac{n+1}{2} } . Misalnya barisan aritmetika dengan banyak suku 19 maka suku ke-10 adalah suku tengahnya.
Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmetika, suku tengah dapat dirumuskan sebagai berikut:
u_{\frac{n+1}{2} }=b\left( \frac{n+1}{2}\right )  +(a-b)=\frac{b(n+1)+2(a-b)}{2}= \frac{bn+b+2a-2b}{2} =\frac{bn+(a-b)+a}{2}
u_{\frac{n+1}{2} }=\frac{u_{n}+u_{1}  }{2}
Perhatikan contoh pengembangan rumus suku tengah berikut:
  • \frac{u_{3} +u_{11}}{2}= u_{\frac{3+11}{2} }=u_{7}  atau u_{3}+u_{11}=2u_{7}
  • u_{4}+ u_{20}=2u_{12}
  • u_{i}+ u_{j}=2u_{\frac{i+j}{2} } , untuk i, dan j dua-duanya ganjil atau i, dan j dua-duanya genap.
Contoh
    Pada sebuah barisan aritmetika diketahui suku pertamanya  -8 dan beda sama dengan 3. Tentukan suku        tengah dari 15 suku pertama barisan itu.
Penyelesaian
Cara 1
   
Suku ke-15 barisan itu adalah 3(15) + (-8 - 3) = 34. Suku tengah sama dengan \frac{34+(-8)}{2}=13
Cara 2
    Suku tengah barisan itu adalah suku ke-8, maka u_{8}=3.8 + (-8-3) =13

Sisipan
Di antara dua buah bilangan p dan q disipkan k buah bilangan dengan k bilangan asli sehingga terbentuk barisan aritmetika, dari kasus ini yang dapat kita nyatakan adalah:
1. suku pertama barisan sama dengan p
2. suku terkahir barisan sama dengan q
3. banyaknya suku sama dengan (k + 2)
Berdasarkan fakta-fakta ini maka dapat dirumuskan :
q=u_{k+2} = p + b( k+2-1) = p + b(k + 1) \Leftrightarrow b(k + 1)=q-p
Jadi b=\frac{q-p}{k+1}
Contoh:
    Di antara -3 dan 21 disisipkan 7 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika. Tentukan:
    a. beda barisan
    b. rumus suku ke-n barisan
Penyelesaian
    a.  b=\frac{q-p}{k+1}= \frac{21-(-3)}{7+1}=3
    b.  u_{n}=3n+(-3 -3)= 3n - 6