Operasi Aljabar Matriks

Operasi Aljabar Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan
    Perhatikan ilustrasi berikut,
    Jika A dan B masing-masing matriks berikut:

                    
    Maka
                   

Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila berordo sama, penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan unsur-unsur yang bersesuaian atau seletak dari ke-dua matriks itu.
Pengurangan matriks A oleh matriks B didefinisikan sebagai A - B = A + (-B).

Sifat-sifat Penjumlahan Matriks

Misalkan A, B, C adalah matriks sehingga operasi penjumlahan terdefinisi, maka

1. A + B = B + A (komutatif)
   
2. A + (B + C) = (A + B) + C (asosiatif)
   
3. ada matriks nol O, sehingga untuk setiap matriks A berlaku A + O = O + A = A
   
4. untuk setiap matriks A ada negatif A yaitu -A sehingga A + (-A) = (-A) + A = 0

2. Perkalian Skalar terhadap Matriks
    Misalkan
              
    Maka
            

    Jika k sebarang skalar real dan A matriks berordo m x n, maka kA adalah matriks berordo m x n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan cara mengalikan k dengan setiap unsur matriks A.

Sifat-sifat perkalian skalar terhadap matriks
Misalkan k, l skalar real, A dan B masing-masing matriks sehingga operasi aljabar berikut dapat dilakukan, maka

    1. k(A + B) = kA + kB
    2. kA + lA = (k + l)A

    3. k(lA) = (kl)A

3. Perkalian Matriks
    Misalkan

    

    Dari contoh ini dapat kita lihat bahwa aturan perkalian dua matriks dilakukan dengan cara,

• mengalikan unsur-unsur baris ke-1 matriks A dengan unsur-unsur kolom ke-1 matriks B dan menjumlahkannya. Hasil yang diperoleh ditempatkan sebagai unsur barsi ke-1, kolom ke-1 pada matriks hasil.
  
• mengalikan unsur-unsur baris ke-2 matriks A dengan unsur-unsur kolom ke-1 matriks B dan menjumlahkannya. Hasil yang diperoleh ditempatkan sebagai unsur barsi ke-2, kolom ke-1 pada matriks hasil.
• mengalikan unsur-unsur baris ke-3 matriks A dengan unsur-unsur kolom ke-1 matriks B dan menjumlahkannya. Hasil yang diperoleh ditempatkan sebagai unsur barsi ke-3, kolom ke-1 pada matriks hasil.

    Matriks hasil berordo 3 x 1.
    Andaikan matriks B memiliki  lebih dari 1 kolom, maka proses perkalian dilakukan seperti di atas untuk kolom ke-2, ke-3 ... dari matriks B.
    Perkalian matriks A dan B (A x B) terdefinisi apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Secara umum A_{m x n} x B_{n x p} dapat dikalikan hasilnya adalah matriks C_{m x p}. 

Sifat-sifat perkalian matriks
Misalkan A, B, dan C adalah matriks sehingga operasi aljabar berikut terdefinisi, maka

1. A x B B x A
2. A x (B x C) = (A x B) x C (asosiatif)
3. A x (B C) = (A x B) (A x C) (distributif)
4. (B C) x A = (B x A) (C x A) (distributif)
5. ada matriks identitas I sehingga untuk setiap matriks A berlaku AI = IA = A
   

Misalkan A matriks persegi ordo n maka didefinisikan,
A² = A.A
A³ = A.A.A
Aⁿ = A.A.A. .... A (sebanyak n faktor), untuk n bilangan asli.