PRADMAT: 2009

Selasa, 08 Desember 2009

Soal - Soal Vektor

Soal - Soal Vektor dan Solusi

Soal - soal pilihan, bervariatif dilihat dari tipe dan tingkat kesukarannya, dari soal mudah sampai soal sulit. Penyelesaian dengan cara yang taktis, sistematis sehingga mudah dipahami, Anda tertarik untuk mempelajarinya?

Sok atuh di download

Minggu, 06 Desember 2009

Transformasi Geometri

Transformasi Geometri
Pembahasan materi pembelajaran "Transformasi Geometri" disajikan oleh e-dukasi berupa paket program, isinya meliputi:
   1. Standar Kompetensi, dan Kompetensi Dasar
    2. Materi Pembelajaran: Translasi, Rotasi, Pencerminan, dan Dilatasi
    3. Latihan
    4. Simulasi
    5. Tes
Paket program ini disajikan secara menarik, jika Anda ingin mempelajari

Selamat belajar, semoga sukses

Senin, 30 November 2009

Permendiknas No. 75 Tahun 2009 tentang Ujian Nasional 2010

Memuat juga kisi-kisi ujian nasional untuk seluruh mata pelajaran yang di UN-kan.

Download

Senin, 23 November 2009

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi Ortogonal
Proyeksi Skalar Ortogonal

Pada gambar 1, titik ujung a diproyeksikan terhadap b kemudian dibentuk c. Karena c diperoleh dengan cara memproyeksikan a terhadap b maka c dinamakan vektor proyeksi. Kita akan mencari hubungan |c| dengan |a| dan |b|. Dengan perbandingan trigonometri kita peroleh hubungan,
   |c| = |a| cos t    (1), dari rumus sudut antara dua vektor diketahui bahwa
   $cos\ t=\frac{\bar{a}\ .\bar{b}}{|a|\ |b|}$ (2), subtitusi rumus (2) pada rumus (1) maka diperoleh,
   $\left| \bar{c} \right| =\left| \bar{a} \right| \frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| a \right|\ \left| b \right| }$ , karena besar sebuah vektor selalu positif atau sama dengan nol sedangkan a . b mungkin negatif apabila t sudut antara a dan b berada pada interval $90^{\circ } <\ t\leq180^{\circ }$ seperti ditunjukkan oleh gambar (2) maka besar atau panjang vektor proyeksi a pada b dirumuskan dengan,
   $\left| \bar{c} \right| = \left| \frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| b \right| } \right|$
Sedangkan bentuk
   $\frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| b \right| }$ (tanda nilai mutlak dihilangkan) dinamakan proyeksi skalar a pada b, nilainya mungkin negatif, nol, atau positif.

Proyeksi Ortogonal Sebuah Vektor pada Vektor Lain
Pada bagian ini kita akan mencari hubungan antara c, a dan b.
Perhatikan kembali gambar di atas,

c searah dengan b jika $0^{\circ } \leq\ t\ <90^{\circ }$ ditunjukkan oleh gambar (1)

c berlawanan arahdengan b jika $90^{\circ } <\ t\leq180^{\circ }$ ditunjukkan oleh gambar (2)

dari dua kondisi tadi maka c = kb dengan k skalar real.

d = c - a dan d tegak lurus b akibatnya
d . b = 0 $\Rightarrow$ (c - a).b = 0 $\Rightarrow$ (kb - a). b = 0 $\Rightarrow$ kb.b - a . b = 0 $\Rightarrow$ k|b|² = a . b

$k=\frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} }$ maka $\bar c=\left( \frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} } \right) \bar b$

Jadi apabila c merupakan proyeksi a terhadap b maka,
$\bar c=\left( \frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} } \right) \bar b$

Minggu, 22 November 2009

Perkalian Skalar**

Perkalian Skalar

a dan b membentuk sudut sebesar t, perkalian skalar antara a dan b didefinisikan sebagai berikut,
a . b = |a||b| cos t
Keadaan khusus perkalian skalar,

Jika t = 0^o maka a . b = |a||b|
Jika t = 90^o maka a . b = 0
Jika t = 180^o maka a . b = - |a||b|

Dapat dibuktikan apabila a =(a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka,
a . b = (a₁, a₂, a₃).(b₁, b₂, b₃) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Perhatikan bahwa hasil perkalian skalar dua vektro adalah skalar.

Sifat-sifat Perkalian skalar
Misalkan a, b, c ketiganya vektor pada bidang atau ketiganya vektor dalam ruang, dan k skalar real maka berlaku,

a.b = b.a (komutatif)
a.(b + c) = a.b + a.c (distributif)
a.(b - c) = a.b - a.c (distributif)
ka . b = k(a . b) = a . kb

Contoh

Hitunglah hasil kali skalar vektor AB dan vektor AC

Jawab
|AB| = 4, |AC| = 5 (gunakan phytagoras), walaupun besar sudut BAC (sudut antara AB dan AC) tidak diketahui tetapi dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa $cos\ BAC= \frac{4}{5}$ , maka
AB . AC = |AB||AC| cos BAC = 4.5. $\frac{4}{5}$ = 16
Sudut antara Dua Vektor
Dari definisi a . b = |a||b| cos t maka $cos\ t = \frac{\bar a\ . \bar b}{\left| a \right|\ \left| b \right| }$
Perhatikan bahwa sudut antara dua vektor adalah sudut yang dibentuk dengan cara mengimpitkan titik pangkal kedua vektor itu.

Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(1, 1, 2), B(0, -1, -2), dan C(2, 1, 2). Tentukanlah cosinus sudut ABC.
Jawab
Sudut ABC dibentuk oleh vektor BA dan vektor BC (pembentuknya bukan vektor AB dan BC).
Masing-masing vektor dalam komponennya adalah BA = a - b = (1, 1, 2) - (0, -1, -2) = (1, 2, 4),
BC = c - b = (2, 1, 2) - (0, -1, -2) = (2, 2, 4). Maka
$cos\ ABC= \frac{\bar {BA}\ . \bar{BC}}{|BA|\ |BC|}=\frac{(1,\ 2,\ 4)\ .\ (2,\ 2, \ 4)}{\sqrt{21}\sqrt{24} }$

$= \frac{1.2+2.2+4.4}{\sqrt{3.7}\sqrt{3.4.2}$

$=\frac{22}{6\sqrt{14}} = \frac{11}{3\sqrt{14} }$

Sifat Ortogonalis
Misalkan a dan b keduanya bukan vektor nol. Jika a tegak lurus terhadap b maka a . b = 0 mengapa?
Berikut adalah contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan sifat ortogonalis.

Diketahui a = ti - 3j + 2k tegak lurus terhadap b = ti + tj - 2k. Tentukan nilai t.
Jawab
Lebih mudah menyatakan a = (t, -3, 2) dan b = (t, t, -2), karena a tegak lurus b maka a . b = 0
t² - 3t -4 = 0 $\Leftrightarrow$ (t - 4)(t + 1) = 0, jadi nilai t = 4 atau t = -1.

Sabtu, 21 November 2009

Pengertian Matriks

Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang atau persegi berdasarkan baris dan kolom dengan pembatas di sebelah kiri dan kanan kurung siku atau kurung lengkung.

Contoh Matriks

Sebuah matriks dinamai menggunakan huruf kapital misalnya: A, B, C, ...
Bilangan penyusun matriks dinamakan unsur atau elemen atau entri matriks. Posisi dari sebuah unsur matriks dinyatakan dalam baris dan kolom. Pada contoh matriks di atas

   2 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-1
   3 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-2
   0 merupakan unsur barsi ke-2 kolom ke-1
   -1 unsur baris ke-2 kolom ke-2

Secara umum unsur baris ke-i kolom ke-j unsur matriks A ditulis atau dinotasikan dengan a_ij.
Ukuran sebuah matriks dinamakan ordo matriks, dinyatakan sebagai m x n dengan,
m menyatakan banyak baris, dan
n menyatakan banyak kolom.
Matriks contoh di atas berordo 2 x 2

Jenis Matriks Khusus

Jenis Matriks Khusus

1. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
    Matriks persegi adalah matriks yang memilki banyak baris sama dengan banyak kolom.
    Contoh matriks persegi 3 x 3

    4, 2, 3 adalah unsur-unsur diagonal utama, sedangkan -5, 2, 9 adalah unsur-unsur diagonal samping.
    Sebuah matriks persegi A berordo n x n disebut juga sebagai matriks berordo n.

2. Matriks Segitiga

Sebuah matriks persegi dengan semua unsur di bawah diagonal utama sama dengan nol dinamakan matriks segitiga atas. Sedangkan matriks persegi dengan semua unsur di atas diagonal utama sama dengan nol dinamakan matriks segitiga bawah.

Contoh matriks segitiga atas

    Contoh matriks segitiga bawah

3. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua unsurnya sama dengan nol, kecuali unsur diagonal utama tidak semuanya nol.

Contoh matriks diagonal

4. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks satuan adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya sama dengan 1.

Matriks satuan ordo 2 dinotasikan dengan I₂

                              Matriks satuan ordo 3 dinotasikan dengan I₃
5. Matriks Transpos
   Misalkan

maka transpose dari matriks A adalah

Jika A matriks berordo m x n, maka transpos dari A dinotasikan dengan A^t adalah matriks yang unsur- unsurnya diperoleh dari matriks A dengan cara menyusun unsur-unsur baris ke 1, 2, ..., m matriks A menjadi unsur-unsur kolom ke 1, 2, 3, ..., m pada A^t. Jadi matriks A^t berordo n x m.

6. Kesamaan Dua Matriks
Matriks A dan B dikatakan sama apabila:

Matriks A dan B berordo sama, dan
unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan B bernilai sama.

7. Negatif dari Sebuah Matriks
Negatif dari matriks A adalah -A yaitu matriks yang unsur-unsurnya negatif dari unsur-unsur matriks A.

Determinan Matriks Ordo 2

Determinan Matriks Persegi Ordo 2

Dalam bagian ini hanya dibahas tentang determinan matriks persegi ordo 2.
Misalkan A matriks persegi ordo 2

dengan menggunakan cara di atas maka mudah bagi kita untuk mencari determinan misalnya matriks

det P = -4.-2 - 5. 2 = 8 - 10 = -2

Setiap matriks persegi ordo 2 memiliki determinan yang sifatnya unik atau tunggal, karena sifat tersebut maka determinan sesungguhnya adalah fungsi dari himpunan matriks persegi ke himpunan bilangan real.

Beberapa sifat determinan yang mudah ditunjukkan kebenarannya untuk matriks persegi ordo 2.

det A = det A^t
det (AB) = det A x det B
det(kA) = k².det A, dengan k skalar real
Jika B matriks yang diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan baris 1 dan baris 2, atau kolom 1 dan kolom 2, maka

det B = - det A

Silahkan Anda coba sendiri untuk menunjukkannya.

Invers Matriks

Invers Matriks
Pembahasan mengenai invers matriks, akan dibatasi hanya untuk matriks persegi ordo 2.
Perhatikan ilustrasi berikut,

dari ilustrasi di atas kita dapat mencatat bahwa A x B = B x A = I.

Definisi
Misalkan A matriks persegi ordo 2, jika dapat ditemukan matriks B ordo 2 yang bersifat A x B = B x A = I maka B dinamakan invers dari A dinotasikan dengan A^-1 , jadi B = A^-1.
Berdasarkan definisi ini juga bahwa A invers dari B, jadi A = B^-1.

Menentukan Invers Matriks Ordo 2

asalkan det A = ad - bc $\ne$ 0.

Jika A matriks persegi yang determinannya sama dengan 0, A dinamakan matriks singular dan A tidak memilki invers.
Sedangkan matriks persegi yang determinannya tidak sama dengan 0 dinamakan matriks non singular dan ia memiliki invers.

Persamaan Matriks
Perhatikan persamaan
   AX = B
dengan A, B, matriks persegi ordo 2 yang diketahui dan X peubah matriks persegi ordo dua yang akan dicari. Kita dapat menganalogikan bentuk persamaan di atas dengan bentuk persamaan linear
    ax = b dengan a, b bilangan real, a $\ne$ 0 dan x peubah real. Dalam penyelesaiannya kalikanlah kedua ruas persamaan dengan invers dari a yaitu $\frac{1}{a}$ maka akan didapat x = $\frac{b}{a}$ .
Untuk menyelesaiakan persamaan AX = B, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A^-1 dari sebelah kiri,
    A^-1. AX = A^-1. B   $\Leftrightarrow$    (A^-1. A)X = A^-1. B
                                $\Leftrightarrow$     I. X = A^-1. B
                                $\Leftrightarrow$    X = A^-1. B

Jadi jika AX = B maka X = A^-1B, asalkan det A $\ne$ 0

Bentuk kedua adalah persamaan

   XA = B, kalikanlah kedua ruas persamaan dengan A^-1 dari sebelah kanan
    XA. A^-1 = B.A^-1 $\Leftrightarrow$ X(A. A^-1) = B.A^-1
                            $\Leftrightarrow$ X.I = B.A^-1
                            $\Leftrightarrow$ X = B.A^-1

Jadi jika XA = B maka X = BA^-1,asalkan det A $\ne$ 0

PRADMAT