Senin, 23 November 2009

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi Ortogonal
Proyeksi Skalar Ortogonal
    
Pada gambar 1, titik ujung a diproyeksikan terhadap b kemudian dibentuk c. Karena c diperoleh dengan cara memproyeksikan a terhadap b maka c dinamakan vektor proyeksi. Kita akan mencari hubungan |c| dengan |a| dan |b|. Dengan perbandingan trigonometri kita peroleh hubungan,
    |c| = |a| cos t    (1), dari rumus sudut antara dua vektor diketahui bahwa
    cos\ t=\frac{\bar{a}\ .\bar{b}}{|a|\ |b|}   (2), subtitusi rumus (2) pada rumus (1) maka diperoleh,
    \left| \bar{c}  \right| =\left| \bar{a} \right| \frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| a \right|\  \left| b \right|  } , karena besar sebuah vektor selalu positif atau sama dengan nol sedangkan a . b mungkin negatif apabila t sudut antara a dan b berada pada interval 90^{\circ } <\ t\leq180^{\circ }  seperti ditunjukkan oleh gambar (2) maka besar atau panjang vektor proyeksi a pada b dirumuskan dengan,
    \left| \bar{c}  \right| = \left| \frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| b \right| } \right|
Sedangkan bentuk
   \frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| b \right| } (tanda nilai mutlak dihilangkan) dinamakan proyeksi skalar a pada b, nilainya mungkin negatif, nol, atau positif.

Proyeksi Ortogonal Sebuah Vektor pada Vektor Lain
Pada bagian ini kita akan mencari hubungan antara c, a dan b.
Perhatikan kembali gambar di atas,
  • c searah dengan b jika 0^{\circ } \leq\  t\ <90^{\circ }  ditunjukkan oleh gambar (1)
  • c berlawanan arahdengan b jika 90^{\circ } <\ t\leq180^{\circ }  ditunjukkan oleh gambar (2)
            dari dua kondisi tadi maka c = kb dengan k skalar real.
  • d = c - a dan d tegak lurus b akibatnya
  • d . b = 0 \Rightarrow (c - a).b = 0 \Rightarrow (kb - a). b = 0 \Rightarrow kb.b - a . b = 0 \Rightarrow k|b|2 = a . b
            k=\frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} } maka \bar c=\left( \frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} }  \right) \bar b
Jadi apabila c merupakan proyeksi a terhadap b maka,
            \bar c=\left( \frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} }  \right) \bar b

Tidak ada komentar:

Posting Komentar