VOLUME BENDA PUTAR

VOLUME BENDA PUTAR

DENGAN POROS PUTAR GARIS y = k, DAN GARIS x = h

(Materi Pengayaan)

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi peserta didik diharapkan mampu:

1. Melakukan transformasi masalah menghitung volume benda putar dengan poros putar garis y = k, dan x = h ke masalah menghitung volume benda putar dengan poros putar sumbu X, dan sumbu Y
2. Menghitung volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva di putar terhadap garis y = k.
3. Menghitung volume benda putar apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva di putar terhadap garis x = h.

Introduksi

Bagaimana yach caranya menghitung volume benda putar apabila sumbu putarnya bukan sumbu-sumbu koordinat, tetapi garis yang sejajar sumbu X atau garis yang sejajar sumbu Y? sepertinya sulit yaaaach. Jawabnya, bisa menjadi mudah seperti menghitung volume benda putar dengan poros putar sumbu X atau sumbu Y. Mengapa bisa demikian? Ya…a…a karena memang bisa… mau tahu caranya? Kalo mau terusin baca …

Ada sedikit materi prasyarat sebelum ke materi pokok. Dalam geometri transformasi ada yang dinamakan dengan Translasi atau pergeseran dinyatakan dengan .

a adalah bilangan real yang menyatakan jauhnya pergeseran searah sumbu X, jika a negatif pergeseran sejauh a ke kiri, dan jika a positif pergeseran sejauh a ke kanan.

b adalah bilangan real yang menyatakan jauhnya pergeseran searah sumbu Y, jika b negatif pergeseran sejauh b ke bawah, dan jika b positif pergeseran sejauh b ke atas.

Contoh:

Titik A(2, 5) oleh translasi "7, -1" digeser ke titik B(9, 4)

Garis y = 2x + 1 oleh translasi "7, -1" digeser ke garis atau persamaan barunya menjadi

y – (-1) = 2(x – 7) +1 disederhanakan menjadi y = 2x - 14 

Rumus Umum

   

Ilustrasi

Misalnya daerah yang dibatasi oleh kurva y = x², garis x = 2, dan sumbu X diputar mengelilingi garis y = - 1, bagaimana caranya ngitung volume benda putar yang terjadi?

Biar gak bingung mudah-mudahan banyak membantu, daerah yang dimaksud klo digambar kayak berikut,

Jadi daerah yang diarsir diputar mengelilingi garis y = - 1 (bukan mengelilingi sumbu X).

Sebetulnya terdapat lebih dari satu cara untuk menyelesaikan masalah tersebut, tetapi cara yang akan dibahas pada tulisan ini adalah mentrasformasi masalah baru ini ke masalah yang telah akrab dengan kalian.

Peta pikirannya adalah sbb,

• Pertamax
  
  Poros putar dalam hal ini garis y = - 1 kita geser/translasi sejauh 1 satuan searah sumbu Y ke atas supaya berimpit dengan sumbu X, hal ini menjadi dasar untuk menentukan komponen translasi (berhenti dulu 1 menit biar aman deh …).
  
  Komponen translasi tersebut ditulis sebagai artinya:
  
  Searah sumbu X kita tidak melakukan pergeseran baik ke kiri maupun ke kanan sehingga komponen pertama dinyatakan dengan 0
  
  Searah sumbu Y kita melakukan persgeseran ke atas sejauh 1 satuan sehingga komponen kedua dinyatakan dengan 1
  
  Begitulah ceritanya seperti kata materi prasyarat di atas.
  
  
  
  Berhenti lagi untuk diendapkan ….pokonya setiap hal yang memerlukan pengendapan berhenti dulu … ok.
  
  
  
• Keduax
  
  Akibatnya atau konsequensinya semua batas daerah yang diputar harus digeser sejauh 1 satuan ke atas, rinciannya:
  
  • Sumbu X digeser 1 satuan ke atas menjadi garis y = 1
    
  • Kurva y = x² digeser 1 satuan ke atas menjadi y – 1 = x²
    Þ y = x² + 1
    
  • Garis x = 2 digeser 1 satuan ke atas persamaan baru tetap x = 2
    
  
  
• Ketigax
  
  Masalah di atas sudah siap untuk ditransfromasi ke masalah yang akrab dengan kalian, perhatikan table berikut:
  
  
  

Masalah Menghitung Vol. Benda Putar Dengan Poros Putar garis  y = - 1	Masalah Menghitung Vol. Benda Putar Dengan Poros Putar Sumbu X
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis x = 2, dan sumbu X diputar mengelilingi garis y = - 1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.	Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1, garis x = 2, dan garis y = 1 diputar mengelilingi sumbu X. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.

Jadi untuk menyelesaikan soal pada kolom kiri sama dengan menyelesaikan soal pada kolom kanan. Penyelesaiannya? Terserah Anda ….

Pada kasus volume benda putar dengan poros putar garis x = h yaitu garis-garis yang sejajar sumbu Y, cara penyelesaiannya analogi dengan kasus volume benda putar dengan poros putar garis y = k. Sebagai dasar translasi adalah jauhnya pergeseran garis x = h agar berimpit dengan sumbu Y. Proses yang dilakukan adalah transfromasi

masalah

volume benda putar dengan poros putar garis x = h

ke masalah

volume benda putar dengan poros putar sumbu Y.

Contoh:

Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 2 , sumbu X, dan sumbu Y diputar mengelilingi garis X = 1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.

Agar garis x = 1 berimpit dengan sumbu Y, harus dilakukan pergeseran 1 satuan ke kiri atau translasi
, maka hasil lengkapnya sebagai berikut:

Kondisi Asal	Kondisi Hasil Translasi
Garis x = 1	Sumbu Y
Garis y = x + 2	Garis y = x + 3 (dari y – 0 = (x - -1) + 2)
Sumbu X	Sumbu X
Sumbu Y	Garis x = - 1
Daerah yang dibatasi oleh garis  y = x + 2 , sumbu X, dan sumbu Y diputar mengelilingi garis X = 1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.	Daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 3, sumbu X, dan garis x = - 1 diputar mengelilingi sumbu Y. Hitunglah volume benda putar yang terjadi.
Penyelesaian Volume benda putar yang terjadi adalah:

Latihan

Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y.

Hitung volume benda putar yang terjadi, jika daerah D diputar terhadap :

(1) sumbu x

(2) garis x = -1

(3) garis y = 4 
(4) sumbu y
(5) garis y = -2  
(6) garis x = 4 

ANALISIS REAL

DERET TAK TERHINGGA

Sebuah deret tak hingga dinyatakan dengan = a₁ + a₂ + a₃ + …, notasi dapat juga ditulis dengan . Sedangkan S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n = dinamakan jumlah parsial ke-n.

Definisi Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Deret tak hingga konvergen dan mempunyai jumlah S apabila barisan jumlah – jumlah parsial {Sn} konvergen menuju S. Apabila {Sn} divergen maka deret divergen.

Kekonvergenan Deret Geometri

Deret geometri a + ar + ar² + ar³ + … = konvergen menuju S jika – 1< r <1.

Bukti

Misalkan S_n = a + ar + ar² + ar³ + … + ar^n-1, maka

S_n – rS_n = (a + ar + ar² + ar³ + … + ar^n-1) – (ar + ar² + ar³ + … ar^n-1 + arⁿ)

S_n(1 – r) = a – arⁿ
Û

Jika |r| < 1 maka , sehingga

S =

Uji Kedivergenan dengan Suku ke-n

Jika konvergen, maka , setara dengan pernyataan ini adalah jika maka deret divergen.

Contoh

Buktikan bahwa divergen.

Penyelesaian

menurut uji kedivergenan suku ke-n deret divergen.

Sifat – Sifat Deret Konvergen

Jika dan keduanya konvergen dan c sebuah konstanta, maka

dan juga konvergen, selain itu

a. =

b.

Jika divergen dan c ¹ 0, maka divergen

Deret Positip ; Uji Integral

Uji Jumlah Terbatas

Suatu deret yang sukunya tak negatif, adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas di atas.

Contoh

Buktikan bahwa deret konvergen.

Penyelesaian

Kita akan memperlihatkan bahwa jumlah – jumlah parsial terbatas di atas

S_n < , menurut teorema di atas deret konvergen.

Uji Integral

Misalkan f suatu fungsi yang kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ¥) dan misalkan pula ak = f(k) untuk semua k bulat positif. Maka deret tak hingga konvergen, jika dan hanya jika integral tak wajar konvergen.

Teorema ini memberikan arti bahwa deret dan integral tak wajar konvergen bersama – sama atau divergen bersama – sama.

Contoh

Buktikan bahwa deret konvergen apabila p >1

Penyelesaian

Untuk p ≥ 0, kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ¥) dan . menurut Uji Integral deret konvergen jika integral tak wajar ada sebagai bilangan terhingga.

• Jika p = 1 maka =
  
• Jika p ¹ 1 maka =
  
  • untuk p > 1,
    
  • sedangkan untuk 0 £ p < 1,
    

Jadi konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk 0 £ p £ 1

Uji Banding

Misalkan untuk n ³ N berlaku 0 £ an £ bn

Jika konvergen maka konvergen

Jika divergen maka divergen

Latihan

Dengan uji banding selidiki apakah deret , petunjuk : gunakan sebagai pembanding

Uji Banding Limit

Misalkan an ³ 0 , bn > 0 dan . Jika 0 < L < ¥ maka dan bersama – sama akan konvergen atau divergen. Jika L = 0 dan konvergen maka konvergen.

Latihan

Apakah deret konvergen atau divergen.

Uji Hasilbagi

Pada uji hasil bagi kita tidak dituntut untuk mencari deret lain sebagai pembanding, dalam uji ini yang dibutuhkan adalah pengetahuan kita tentang deret yang hendak kita selidiki.

Misalkan sebuah deret yang sukunya positif dan misalkan pula

Jika p < 1 deret konvergen

Jika p > 1 deret dipergen

Jika p = 1, pengujian tidak memberikan kepastian

Latihan

Selidiki apakah deret berikut konvergen atau divergen

1.

2.

DERET GANTI TANDA; KEKONVERGENAN MUTLAK

1 - + - + … dinamakan deret harmonik ganti tanda, akan kita lihat bahwa deret ini konvergen.

Uji Deret Ganti Tanda

Misalkan

a1 – a2 + a3 – a4 + …

suatu deret ganti-tanda dengan an > an+1 > 0. Apabila , maka deret konvergen. Kesalahan yang dibuat apabila jumlah S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn tidak akan melebihi an+1.

Contoh

Buktikan deret 1 - + - + … konvergen

Penyelesaian

Deret harmonik ganti tanda memenuhi syarat-syarat pada teorema Uji Deret Ganti Tanda, dan maka deret konvergen.

Latihan

Buktikan bahwa konvergen.

Uji Kekonvergenan Mutlak

Apabila konvergen maka konvergen

KEKONVERGENAN MUTLAK

Sebuah deret dinamakan konvergen mutlak apabila konvergen. Jadi menurut uji kekonvergenan mutlak, konvergen mutlak mengakibatkan kekonvergenan.

Misalkan = 1 + - +- + … , kita tidak dapat menguji kekonvergenan deret ini dengan Uji Deret Ganti Tanda karena pada deret ini setiap dua suku positif disusul dengan sebuah suku negatif.

= 1 + + ++ + … adalah deret dengan p = 2 dan sudah kita buktikan bahwa deret ini konvergen. Maka menurut Uji Kekonvergenan Mutlak,

deret = 1 + - +- + … konvergen dan juga konvergen mutlak.

Uji Hasilbagi Mutlak

Misalkan sebuah deret yang suku – sukunya tak nol dan misalkan juga

Jika p < 1, deret konvergen mutlak ( jadi konvergen).

Jika p > 1, deret divergen.

Jika p = 1, pengujian tidak memberikan kepastian.

Contoh

Buktikan deret konvergen mutlak.

Penyelesaian

<1

menurut Uji Hasilbagi Mutlak maka deret konvergen mutlak, jadi konvergen.

KEKONVERGENAN BERSYARAT

Sebuah deret dinamakan konvergen bersyarat apabila konvergen tetapi deret divergen.

Contoh

Deret harmonik ganti tanda 1- + - + … telah dibuktikan konvergen, tetapi deret 1+ + + + … divergen.

Jadi deret 1- + - + … konvergen bersyarat.

Latihan

Buktikan bahwa konvergen bersyarat.

SOAL-SOAL A.

Gunakan Uji Integral untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.

1. 
   
2. 
   

Gunakan Uji Banding Limit untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.

1. 
   
2. 
   

Gunakan Uji Hasilbagi untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.

1. 
   
2. 
   

SOAL-SOAL B.

Buktikan bahwa deret ganti tanda berikut konvergen.

1. 
   
2. 
   

Buktikan bahwa deret berikut konvergen mutlak.

1. 
   
2. 
   

Tentukan apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.

1. 
   
2. 
   

DERET PANGKAT

Sebuah deret pangkat dalam x berbentuk

= a_o + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …

(a_ox⁰ dianggap sebagai a_o, juga jika x = 0).

Pertanyaan yang biasa muncul untuk deret pangkat diantaranya adalah : untuk nilai x manakah sebuah deret pangkat konvergen?

Contoh

Untuk nilai-nilai x manakah deret pangkat

konvergen dan berapakah jumlahnya?

Penyelesaian

Deret tersebut telah kita kenal sebagai deret geometri apabila x diganti dengan r, konvergen apabila – 1 < r < 1 dengan jumlah .

HIMPUNAN KEKONVERGENAN

Himpunan bilangan real yang anggota-anggotanya membentuk sebuah deret konvergen dinamakan himpunan kekonvergenan.

Pada contoh di atas himpunan kekonvergenan deret geometri

adalah selang – 1 < x < 1.

Contoh

Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret

Penyelesaian

Sekian suku deret itu adalah bilangan negatif apabila x negatif, maka untuk menguji kekonvergenan mutlak deret tersebut kita dapat menggunakan Uji Hasilbagi Mutlak.

deret konvergen mutlak (jadi konvergen) apabila

p =< 1 Û |x| < 2

Û - 2 < x < 2

sedangkan untuk x = - 2 atau x = 2 Uji Hasilbagi Mutlak gagal karena p = 1. Tetapi jika x = -2 deret itu merupakan deret harmonik ganti tanda, yang sudah kita ketahui konvergen dan untuk x = 2 deret itu adalah deret harmonik, divergen.

Jadi himpunan kekonvergenan deret adalah – 2 £ x < 2.

Latihan

1. Tentukan himpunan kekonvergenan deret
   
2. Tentukan himpunan kekonvergenan deret
   

TEOREMA 1

Himpunan kekonvergenan sebuah deret pangkat selalu berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut

Satu titik x = 0.

Selang (-R, R), mungkin ditambah salah satu atau kedua ujung selang.

Seluruh himpunan bilangan real.

Jika kondisi a yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah 0

Jika kondisi b yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah R

Jika kondisi c yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah ¥

TEOREMA 2 Deret pangkat konvergen mutlak pada bagian dalam selang kekonvergenannya.

Pada ujung selang dapat juga konvergen tetatpi tidak selalu benar.

DERET PANGKAT DALAM x – a

Sebuah deret berbentuk

dinamakan deret pangkat dalam x – a.

Sifat-sifat yang berlaku pada deret pangkat dalam x berlaku juga untuk deret pangkat dalam x- a. Khususnya, himpunan kekonvergenan deret pangkat dalam x – a berbentuk salah satu selang berikut

1. Satu titik x = a
   
2. Selang (a – R, a +R), mungkin ditambah salah satu atau kedua ujung selang.
   
3. Seluruh himpunan bilangan real
   

Contoh

Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret

Penyelesaian

Deret konvergen mutlak apabila < 1 Û - 1 < x – 1 < 1

Û 0 < x < 2

Untuk x = 0 dan x = 2 deret bahkan konvergen mutlak. Jadi himpunan kekonvergenan deret adalah selang 0 £ x £ 2

SOAL – SOAL

Dalam soal berikut tentukan rumus suku ke-n deret yang diketahui, kemudian tentukan pula himpunan kekonvergenan deret dengan Uji Hasilbagi Mutlak.

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   

PERSAMAAN KUADRAT

Pembahasan Soal-soal Pengayaan

Materi Pembelajaran: Persamaan Kuadrat

1. Salah satu akar persamaan kuadrat (p² – 2p)x² + 2x + 1 = 0 adalah 1. Tentukanlah akar yang lainnya.

Solusi

Karena 1 merupakn akar PK maka (p² – 2p) + 2 + 1 = 0 Û (p² – 2p) = -3, maka persamaan kuadrat yang diketahui adalah -3x² + 2x + 1 = 0 Û 3x² – 2x + 1 = 0

Û (3x + 1)(x -1) = 0

Û x = - atau x = 1

Cara 2:

Berdasarkan sifat penjumlahan akar : 1 + x₂ = , maka x₂ = -

1. Jika p dan q adalah akar persamaan kuadrat x² + x + 1 = 0, tentukanlah hasil kali (3 – p)(3 – q).
   
   
   Solusi
   
   (3 – p)(3 – q) = 9 – 3(p + q) + pq = 9 – 3(-1) + 1 = 13
   
   
   
2. Akar-akar persamaan kuadrat x² – px + 2p – 7 = 0 adalah α dan β. Jika 2α – β = 7, tentukan nilai p.

Solusi

2α – β = 7 Û β = 2α – 7 … 1)

α + β = p … 2)

dari 1) dan 2) diperoleh 3α – 7 = p

sedangkan berdasarkan perkalian akar-akar α β = 2p – 7 Û α(2α – 7) = 2(3α – 7) – 7

2α² – 7α = 6α – 21 Û 2α² - 13α + 21 = 0

Û (2α – 7)(α – 3) = 0

Û untuk α = 3 maka β= 2.3 – 7 = - 1, p = α + β = 3 – 1 = 2