PRADMAT

Operasi Aljabar Matriks

Operasi Aljabar Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan
   Perhatikan ilustrasi berikut,
    Jika A dan B masing-masing matriks berikut:

Maka

Dua buah matriks dapat dijumlahkan apabila berordo sama, penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan unsur-unsur yang bersesuaian atau seletak dari ke-dua matriks itu.
Pengurangan matriks A oleh matriks B didefinisikan sebagai A - B = A + (-B).

Sifat-sifat Penjumlahan Matriks

Misalkan A, B, C adalah matriks sehingga operasi penjumlahan terdefinisi, maka

A + B = B + A (komutatif)
A + (B + C) = (A + B) + C (asosiatif)
ada matriks nol O, sehingga untuk setiap matriks A berlaku A + O = O + A = A
untuk setiap matriks A ada negatif A yaitu -A sehingga A + (-A) = (-A) + A = 0

2. Perkalian Skalar terhadap Matriks
Misalkan

Maka

Jika k sebarang skalar real dan A matriks berordo m x n, maka kA adalah matriks berordo m x n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan cara mengalikan k dengan setiap unsur matriks A.

Sifat-sifat perkalian skalar terhadap matriks
Misalkan k, l skalar real, A dan B masing-masing matriks sehingga operasi aljabar berikut dapat dilakukan, maka

1. k(A + B) = kA + kB
2. kA + lA = (k + l)A

3. k(lA) = (kl)A

3. Perkalian Matriks
Misalkan

Dari contoh ini dapat kita lihat bahwa aturan perkalian dua matriks dilakukan dengan cara,

mengalikan unsur-unsur baris ke-1 matriks A dengan unsur-unsur kolom ke-1 matriks B dan menjumlahkannya. Hasil yang diperoleh ditempatkan sebagai unsur barsi ke-1, kolom ke-1 pada matriks hasil.
mengalikan unsur-unsur baris ke-2 matriks A dengan unsur-unsur kolom ke-1 matriks B dan menjumlahkannya. Hasil yang diperoleh ditempatkan sebagai unsur barsi ke-2, kolom ke-1 pada matriks hasil.
mengalikan unsur-unsur baris ke-3 matriks A dengan unsur-unsur kolom ke-1 matriks B dan menjumlahkannya. Hasil yang diperoleh ditempatkan sebagai unsur barsi ke-3, kolom ke-1 pada matriks hasil.

    Matriks hasil berordo 3 x 1.
    Andaikan matriks B memiliki lebih dari 1 kolom, maka proses perkalian dilakukan seperti di atas untuk kolom ke-2, ke-3 ... dari matriks B.
    Perkalian matriks A dan B (A x B) terdefinisi apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Secara umum A_{m x n}x B_{n x p} dapat dikalikan hasilnya adalah matriks C_{m x p}.

Sifat-sifat perkalian matriks
Misalkan A, B, dan C adalah matriks sehingga operasi aljabar berikut terdefinisi, maka

A x B $\ne$ B x A
A x (B x C) = (A x B) x C (asosiatif)
A x (B $\pm$ C) = (A x B) $\pm$ (A x C) (distributif)
(B $\pm$ C) x A = (B x A) $\pm$ (C x A) (distributif)
ada matriks identitas I sehingga untuk setiap matriks A berlaku AI = IA = A

Misalkan A matriks persegi ordo n maka didefinisikan,
A² = A.A
A³ = A.A.A
Aⁿ = A.A.A. .... A (sebanyak n faktor), untuk n bilangan asli.

Pengertian Vektor

Pengertian Vektor
Besaran yang memilki besar atau nilai, dan arah dinamakan besaran vektor. Sedangkan besaran yang hanya memilik besar atau nilai saja dinamakan besaran skalar.

Beberapa contoh besaran vektor dan besaran skalar
Besaran vektor: berat, kecepatan, percepatan, gaya dll
Besaran skalar: massa, panjang, suhu, volume dll
Secara geometri vektor adalah ruas garis berarah, panjang ruas garis mewakili besar vektor dan tanda panah menunjukkan arah vektor.

Sebuah vektor dilambangkan dengan huruf kecil: bergaris bawah atau atas, ditebalkan, atau berdasarkan nama titik pangkal dan titik ujung vektor.
a, $\bar{a}$ , a dibaca vektor a. Sebuah vektor dengan pangkal di titik A dan ujung di titik B dapat dinotasikan dengan $\bar{AB}$ , kita akan melambangkan vektor dengan huruf kecil bergaris bawah atau bergaris atas.
Vektor dinyatakan dengan:

gambar ruas garis berarah

vektor a

pasangan bilangan, contoh

            vektor di R₂ (pada bidang): (1, 2), (-1, 4), ...
           vektor di R₃ (dalam ruang): (2, 1, 3), (-2, 4, 5), ...
            dari contoh vektor (2, 1, 3): 2, 1, dan 3 disebut komponen ke-1, ke-2, dan ke-3 dari vektor itu.

Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila besarnya dan arahnya sama.
Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ dan $\bar{b}=(b_{1},\ b_{2})$ adalah vektor dalam bidang, a = b jika dan hanya jika a₁ = b₁ dan a₂ = b₂.
Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ dan $\bar{b}=(b_{1},\ b_{2},\ b_{3})$ adalah vektor dalam ruang, a = b jika dan hanya jika a₁ = b₁, a₂ = b₂dan a₃ = b₃.

Negatif Sebuah Vektor
Negatif dari a ditulis -a adalah vektor yang besarnya sama dengan besar a tetapi arahnya berlawanan. Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ vektor dalam bidang, negatif dari a adalah $-\bar{a}=(-a_{1},\ -a_{2})$ .

Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ vektor dalam ruang, negatif dari a adalah $-\bar{a}=(-a_{1},\ -a_{2},\ -a_{3})$ .

Vektor Posisi
Vektor posisi dari titik A adalah vektor yang pangkalnya di titik O dan ujungnya di titik A biasanya dinamai sebagai a, misalkan titik A(2, 4) maka vektor posisi titik A adalah $\bar{a}=(2,\ 4)$ .
Apabila A(a₁, a₂) titik pada bidang maka vektor posisi titik A adalah $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ dan apabila A(a₁, a₂, a₃) titik dalam ruang maka vektor posisi dari titik A adalah $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ .
Berdasarkan definisi vektor posisi dan kesamaan dua vektor maka $\bar{AB}$ dengan A(a₁, a₂, a₃) dan B(b₁, b₂,b₃) dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya $\bar{AB} =(b_{1}-a_{1},\ b_{2}-a_{2},\ b_{3}-a_{3})$ , bentuk ini dapat juga dibuktikan dengan prinsip penjumlah vektor.

Besar Vektor
Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ maka besar vektor a adalah $\left| \bar{a} \right|=\sqrt{\ a_{1}\ ^{2} + {\ a_{2}\ ^2}$
Jika $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ maka besar vektor a adalah $\left| \bar{a} \right|=\sqrt{\ a_{1}\ ^{2} + {\ a_{2}\ ^2}+{\ a_{3}\ ^2}$

Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya sama dengan 1. Vektor a = (1, 0, 0) adalah contoh vektor satuan karena besarnya sama dengan $\sqrt{1^{2} + 0^{2} +0^{2}} = 1$

Perkalian Skalar terhadap Vektor

Perkalian Skalar terhadap Vektor
Perhatikan ilustrai berikut,

2a adalah perkalian antara skalar 2 dengan vektor a, 2a adalah vektor yang besarnya 2 kali besar a dan arahnya sama denga arah a.
$\frac{1}{2}\bar{a}$ adalah vektor yang besarnya $\frac{1}{2}$ kali besar a dan arahnya sama dengan arah a.
- 2a adalah vektor yang besarnya 2 kali besar a tetapi arahnya berlawanan dengan arah a.

Jadi jika a sebuah vektor pada bidang maupun pada ruang dan k skalar real maka ka adalah vektor yang besarnya |k| kali besar a dan arahnya:

searah a jika k > 0
berlawanan dengan arah a jika k < 0

Jika a = (a₁, a₂), dan k skalar maka ka = k(a₁, a₂) = (ka₁, ka₂).
Jika a = (a₁, a₂, a₃), dan k skalar maka ka = k(a₁, a₂, a₃) = (ka₁, ka₂, ka₃).

Contoh
Diketahui a = (2, 2, 1), tentukan |a|, 3a dan |3a|.

Jawab
$\left| \bar{a} \right| = \sqrt {2^2+2^2+1^2 }= \sqrt {9}=3$
3a = 3(2, 2, 1) = (6, 6, 3) dan
$\left|\ 3 \bar {a} \right| = \sqrt{6^2 +6^2 + 3^2} = \sqrt{3^2.2^2 +3^2.2^2 + 3^2}$
$=\ 3 \sqrt{2^2 +2^2 + 1}= 3.3 = 9$
$= \3 \left|\bar a \right|$

Sifat-sifat Perkalian Skalar terhadap Vektor
Misalkan a, b keduanya vektor pada bidang atau keduanya vektor dalam ruang, k, dan l skalar maka berlaku sifat,

ka + kb = k(a + b)
ka + la = (k + l)a
k(la) = (kl)a

Silahkan Anda tunjukkan kebenaran sifat-sifat ini dengan contoh.

Penjumlahan Vektor

Penjumlahan Vektor
Secara geometri

untuk mencari a + b, impitkan pangkal b pada ujung a kemudian hubungkan pangkal a dan ujung b maka vektor yang diperoleh merupakan jumlah a dan b, cara menjumlahkan vektor seperti ini dinamakan metoda segitiga.

Menjumlahkan vektor dalam Komponen-Komponennya
Jika $\bar{a}=(\ a_{1}, \ a_{2})$ dan $\bar{b}=(\ b_{1}, \ b_{2})$ masing-masing vektor pada bidang maka $\bar{a}+ \bar{b}= (a_{1}+ b_{1},\ a_{2}+ b_{2})$ .

Jika $\bar{a}=(\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ ,
dan $\bar {b}=(\ b_{1},\ b_{2},\ b_{3})$ masing-masing vektor dalam ruang maka,
$\bar{a}+\bar{b}= (a_{1}+ b_{1},\ a_{2}+ b_{2},\ a_{3}+ b_{3})$ .

Sifat-sifat Penjumlahan Vektor
misalkan a, b, dan c ketiga-tiganya vektor pada bidang atau ketiga-tiganya vektor dalam ruang, maka berlaku,

a + b = b + a (bersifat komutatif)
a + (b + c) = (a + b) + c (bersifat asosiatf)
ada vektor O, sehingga untuk setiap a berlaku a + O = O + a = a
untuk setiap a ada -a sehingga a + -a = -a + a = O

Pengurangan Vektor
Vektor a dikurangi vektor b didefinisikan a - b = a + (-b).
Misalkan $\bar{a}=(\ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3})$ dan $\bar{b}=(\ b_{1}, \ b_{2},\ b_{3})$ maka $\bar{a}- \bar{b}= \bar{a}+(- \bar{b})=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})+(-b_{1},\ -b_{2},\ -b_{3})$
$= (a_{1}-b_{1},\ a_{2}-b_{2},\ a_{3}-b_{3})$
Pengurangan vektor secara geometri diilustrasikan sebagai berikut,

perhatikan bahwa -b panjangnya sama dengan b tetapi arahnya berlawanan dengan arah b, dan berdasarkan definisi a - b = a + -b

PRADMAT

Sabtu, 21 November 2009

Operasi Aljabar Matriks

Pengertian Vektor

Perkalian Skalar terhadap Vektor

Penjumlahan Vektor

WIATI

Mengenai Saya

Arsip Blog

Pengikut

Link Rekan