Minggu, 21 Agustus 2011

ANALISIS REAL

DERET TAK TERHINGGA

Sebuah deret tak hingga dinyatakan dengan = a1 + a2 + a3 + …, notasi dapat juga ditulis dengan . Sedangkan Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = dinamakan jumlah parsial ke-n.

Definisi Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Deret tak hingga konvergen dan mempunyai jumlah S apabila barisan jumlah – jumlah parsial {Sn} konvergen menuju S. Apabila {Sn} divergen maka deret divergen.


Kekonvergenan Deret Geometri

Deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + … = konvergen menuju S jika – 1< r <1.

Bukti

Misalkan Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1, maka

Sn – rSn = (a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1) – (ar + ar2 + ar3 + … arn-1 + arn)

Sn(1 – r) = a – arn
Û

Jika |r| < 1 maka , sehingga

S =

Uji Kedivergenan dengan Suku ke-n

Jika konvergen, maka , setara dengan pernyataan ini adalah jika maka deret divergen.

Contoh

Buktikan bahwa divergen.

Penyelesaian

menurut uji kedivergenan suku ke-n deret divergen.

Sifat – Sifat Deret Konvergen

Jika dan keduanya konvergen dan c sebuah konstanta, maka

dan juga konvergen, selain itu

a. =

b.

Jika divergen dan c ¹ 0, maka divergen


Deret Positip ; Uji Integral

Uji Jumlah Terbatas

Suatu deret yang sukunya tak negatif, adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas di atas.

Contoh

Buktikan bahwa deret konvergen.

Penyelesaian

Kita akan memperlihatkan bahwa jumlah – jumlah parsial terbatas di atas


Sn < , menurut teorema di atas deret konvergen.

Uji Integral

Misalkan f suatu fungsi yang kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ¥) dan misalkan pula ak = f(k) untuk semua k bulat positif. Maka deret tak hingga konvergen, jika dan hanya jika integral tak wajar konvergen.

Teorema ini memberikan arti bahwa deret dan integral tak wajar konvergen bersama – sama atau divergen bersama – sama.

Contoh

Buktikan bahwa deret konvergen apabila p >1

Penyelesaian

Untuk p ≥ 0, kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ¥) dan . menurut Uji Integral deret konvergen jika integral tak wajar ada sebagai bilangan terhingga.

  • Jika p = 1 maka =
  • Jika p ¹ 1 maka =
    • untuk p > 1,
    • sedangkan untuk 0 £ p < 1,

Jadi konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk 0 £ p £ 1

Uji Banding

Misalkan untuk n ³ N berlaku 0 £ an £ bn

  1. Jika konvergen maka konvergen
  1. Jika divergen maka divergen

Latihan

Dengan uji banding selidiki apakah deret , petunjuk : gunakan sebagai pembanding

Uji Banding Limit

Misalkan an ³ 0 , bn > 0 dan . Jika 0 < L < ¥ maka dan bersama – sama akan konvergen atau divergen. Jika L = 0 dan konvergen maka konvergen.

Latihan

Apakah deret konvergen atau divergen.

Uji Hasilbagi

Pada uji hasil bagi kita tidak dituntut untuk mencari deret lain sebagai pembanding, dalam uji ini yang dibutuhkan adalah pengetahuan kita tentang deret yang hendak kita selidiki.

Misalkan sebuah deret yang sukunya positif dan misalkan pula

  1. Jika p < 1 deret konvergen
  1. Jika p > 1 deret dipergen
  1. Jika p = 1, pengujian tidak memberikan kepastian





Latihan

Selidiki apakah deret berikut konvergen atau divergen

1.

2.

DERET GANTI TANDA; KEKONVERGENAN MUTLAK

1 - + - + … dinamakan deret harmonik ganti tanda, akan kita lihat bahwa deret ini konvergen.

Uji Deret Ganti Tanda

Misalkan

a1 – a2 + a3 – a4 + …

suatu deret ganti-tanda dengan an > an+1 > 0. Apabila , maka deret konvergen. Kesalahan yang dibuat apabila jumlah S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn tidak akan melebihi an+1.

Contoh

Buktikan deret 1 - + - + … konvergen

Penyelesaian

Deret harmonik ganti tanda memenuhi syarat-syarat pada teorema Uji Deret Ganti Tanda, dan maka deret konvergen.

Latihan

Buktikan bahwa konvergen.

Uji Kekonvergenan Mutlak

Apabila konvergen maka konvergen

KEKONVERGENAN MUTLAK

Sebuah deret dinamakan konvergen mutlak apabila konvergen. Jadi menurut uji kekonvergenan mutlak, konvergen mutlak mengakibatkan kekonvergenan.


Misalkan = 1 + - +- + … , kita tidak dapat menguji kekonvergenan deret ini dengan Uji Deret Ganti Tanda karena pada deret ini setiap dua suku positif disusul dengan sebuah suku negatif.

= 1 + + ++ + … adalah deret dengan p = 2 dan sudah kita buktikan bahwa deret ini konvergen. Maka menurut Uji Kekonvergenan Mutlak,

deret = 1 + - +- + … konvergen dan juga konvergen mutlak.

Uji Hasilbagi Mutlak

Misalkan sebuah deret yang suku – sukunya tak nol dan misalkan juga

  1. Jika p < 1, deret konvergen mutlak ( jadi konvergen).
  1. Jika p > 1, deret divergen.
  1. Jika p = 1, pengujian tidak memberikan kepastian.

Contoh

Buktikan deret konvergen mutlak.

Penyelesaian

<1

menurut Uji Hasilbagi Mutlak maka deret konvergen mutlak, jadi konvergen.

KEKONVERGENAN BERSYARAT

Sebuah deret dinamakan konvergen bersyarat apabila konvergen tetapi deret divergen.

Contoh

Deret harmonik ganti tanda 1- + - + … telah dibuktikan konvergen, tetapi deret 1+ + + + … divergen.

Jadi deret 1- + - + … konvergen bersyarat.

Latihan

Buktikan bahwa konvergen bersyarat.

SOAL-SOAL A.

Gunakan Uji Integral untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.



Gunakan Uji Banding Limit untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.



Gunakan Uji Hasilbagi untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.



SOAL-SOAL B.

Buktikan bahwa deret ganti tanda berikut konvergen.



Buktikan bahwa deret berikut konvergen mutlak.



Tentukan apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.



















DERET PANGKAT

Sebuah deret pangkat dalam x berbentuk

= ao + a1x + a2x2 + a3x3 + …

(aox0 dianggap sebagai ao, juga jika x = 0).


Pertanyaan yang biasa muncul untuk deret pangkat diantaranya adalah : untuk nilai x manakah sebuah deret pangkat konvergen?

Contoh

Untuk nilai-nilai x manakah deret pangkat

konvergen dan berapakah jumlahnya?

Penyelesaian

Deret tersebut telah kita kenal sebagai deret geometri apabila x diganti dengan r, konvergen apabila – 1 < r < 1 dengan jumlah .

HIMPUNAN KEKONVERGENAN

Himpunan bilangan real yang anggota-anggotanya membentuk sebuah deret konvergen dinamakan himpunan kekonvergenan.

Pada contoh di atas himpunan kekonvergenan deret geometri


adalah selang – 1 < x < 1.

Contoh

Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret


Penyelesaian

Sekian suku deret itu adalah bilangan negatif apabila x negatif, maka untuk menguji kekonvergenan mutlak deret tersebut kita dapat menggunakan Uji Hasilbagi Mutlak.


deret konvergen mutlak (jadi konvergen) apabila

p =< 1 Û |x| < 2

Û - 2 < x < 2

sedangkan untuk x = - 2 atau x = 2 Uji Hasilbagi Mutlak gagal karena p = 1. Tetapi jika x = -2 deret itu merupakan deret harmonik ganti tanda, yang sudah kita ketahui konvergen dan untuk x = 2 deret itu adalah deret harmonik, divergen.

Jadi himpunan kekonvergenan deret adalah – 2 £ x < 2.

Latihan

  1. Tentukan himpunan kekonvergenan deret
  2. Tentukan himpunan kekonvergenan deret



TEOREMA 1

Himpunan kekonvergenan sebuah deret pangkat selalu berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut

  1. Satu titik x = 0.
  1. Selang (-R, R), mungkin ditambah salah satu atau kedua ujung selang.
  1. Seluruh himpunan bilangan real.


Jika kondisi a yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah 0

Jika kondisi b yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah R

Jika kondisi c yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah ¥


TEOREMA 2

Deret pangkat konvergen mutlak pada bagian dalam selang kekonvergenannya.

Pada ujung selang dapat juga konvergen tetatpi tidak selalu benar.

DERET PANGKAT DALAM x – a

Sebuah deret berbentuk


dinamakan deret pangkat dalam x – a.

Sifat-sifat yang berlaku pada deret pangkat dalam x berlaku juga untuk deret pangkat dalam x- a. Khususnya, himpunan kekonvergenan deret pangkat dalam x – a berbentuk salah satu selang berikut

  1. Satu titik x = a
  2. Selang (a – R, a +R), mungkin ditambah salah satu atau kedua ujung selang.
  3. Seluruh himpunan bilangan real

Contoh

Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret


Penyelesaian


Deret konvergen mutlak apabila < 1 Û - 1 < x – 1 < 1

Û 0 < x < 2

Untuk x = 0 dan x = 2 deret bahkan konvergen mutlak. Jadi himpunan kekonvergenan deret adalah selang 0 £ x £ 2






SOAL – SOAL

Dalam soal berikut tentukan rumus suku ke-n deret yang diketahui, kemudian tentukan pula himpunan kekonvergenan deret dengan Uji Hasilbagi Mutlak.












1 komentar:

  1. Pak,,
    banyakin donk contoh soalnya..
    saya benar benar bingung belajar analisis real ini..
    hikshiks..
    dikelas di suruh bahas soal mumet mumet..

    BalasHapus