DERET TAK TERHINGGA
Sebuah deret tak hingga dinyatakan dengan = a1 + a2 + a3 + …, notasi dapat juga ditulis dengan . Sedangkan Sn = a1 + a2 + a3 + … + an = dinamakan jumlah parsial ke-n.
Definisi Kekonvergenan Deret Tak Hingga |
Deret tak hingga konvergen dan mempunyai jumlah S apabila barisan jumlah – jumlah parsial {Sn} konvergen menuju S. Apabila {Sn} divergen maka deret divergen. |
Kekonvergenan Deret Geometri
Deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + … = konvergen menuju S jika – 1< r <1.
Bukti
Misalkan Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1, maka
Sn – rSn = (a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1) – (ar + ar2 + ar3 + … arn-1 + arn)
Sn(1 – r) = a – arn
Û
Jika |r| < 1 maka , sehingga
S =
Uji Kedivergenan dengan Suku ke-n |
Jika konvergen, maka , setara dengan pernyataan ini adalah jika maka deret divergen. |
Contoh
Buktikan bahwa divergen.
Penyelesaian
menurut uji kedivergenan suku ke-n deret divergen.
Sifat – Sifat Deret Konvergen
Jika dan keduanya konvergen dan c sebuah konstanta, maka
dan juga konvergen, selain itu
a. =
b.
Jika divergen dan c ¹ 0, maka divergen
Deret Positip ; Uji Integral
Uji Jumlah Terbatas |
Suatu deret yang sukunya tak negatif, adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah parsialnya terbatas di atas. |
Contoh
Buktikan bahwa deret konvergen.
Penyelesaian
Kita akan memperlihatkan bahwa jumlah – jumlah parsial terbatas di atas
Sn < , menurut teorema di atas deret konvergen.
Uji Integral |
Misalkan f suatu fungsi yang kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ¥) dan misalkan pula ak = f(k) untuk semua k bulat positif. Maka deret tak hingga konvergen, jika dan hanya jika integral tak wajar konvergen. |
Teorema ini memberikan arti bahwa deret dan integral tak wajar konvergen bersama – sama atau divergen bersama – sama.
Contoh
Buktikan bahwa deret konvergen apabila p >1
Penyelesaian
Untuk p ≥ 0, kontinu, positif dan tidak naik pada selang [1, ¥) dan . menurut Uji Integral deret konvergen jika integral tak wajar ada sebagai bilangan terhingga.
- Jika p = 1 maka =
- Jika p ¹ 1 maka =
- untuk p > 1,
- sedangkan untuk 0 £ p < 1,
- untuk p > 1,
Jadi konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk 0 £ p £ 1
Uji Banding |
Misalkan untuk n ³ N berlaku 0 £ an £ bn |
|
|
Latihan
Dengan uji banding selidiki apakah deret , petunjuk : gunakan sebagai pembanding
Uji Banding Limit |
Misalkan an ³ 0 , bn > 0 dan . Jika 0 < L < ¥ maka dan bersama – sama akan konvergen atau divergen. Jika L = 0 dan konvergen maka konvergen. |
Latihan
Apakah deret konvergen atau divergen.
Uji Hasilbagi |
Pada uji hasil bagi kita tidak dituntut untuk mencari deret lain sebagai pembanding, dalam uji ini yang dibutuhkan adalah pengetahuan kita tentang deret yang hendak kita selidiki. |
Misalkan sebuah deret yang sukunya positif dan misalkan pula |
|
|
|
|
Latihan
Selidiki apakah deret berikut konvergen atau divergen
1.
2.
DERET GANTI TANDA; KEKONVERGENAN MUTLAK
1 - + - + … dinamakan deret harmonik ganti tanda, akan kita lihat bahwa deret ini konvergen.
Uji Deret Ganti Tanda |
Misalkan |
a1 – a2 + a3 – a4 + … |
suatu deret ganti-tanda dengan an > an+1 > 0. Apabila , maka deret konvergen. Kesalahan yang dibuat apabila jumlah S diaproksimasi dengan jumlah n suku pertama Sn tidak akan melebihi an+1. |
Contoh
Buktikan deret 1 - + - + … konvergen
Penyelesaian
Deret harmonik ganti tanda memenuhi syarat-syarat pada teorema Uji Deret Ganti Tanda, dan maka deret konvergen.
Latihan
Buktikan bahwa konvergen.
Uji Kekonvergenan Mutlak |
Apabila konvergen maka konvergen |
KEKONVERGENAN MUTLAK
Sebuah deret dinamakan konvergen mutlak apabila konvergen. Jadi menurut uji kekonvergenan mutlak, konvergen mutlak mengakibatkan kekonvergenan. |
Misalkan = 1 + - +- + … , kita tidak dapat menguji kekonvergenan deret ini dengan Uji Deret Ganti Tanda karena pada deret ini setiap dua suku positif disusul dengan sebuah suku negatif.
= 1 + + ++ + … adalah deret dengan p = 2 dan sudah kita buktikan bahwa deret ini konvergen. Maka menurut Uji Kekonvergenan Mutlak,
deret = 1 + - +- + … konvergen dan juga konvergen mutlak.
Uji Hasilbagi Mutlak |
Misalkan sebuah deret yang suku – sukunya tak nol dan misalkan juga |
|
|
|
|
Contoh
Buktikan deret konvergen mutlak.
Penyelesaian
<1
menurut Uji Hasilbagi Mutlak maka deret konvergen mutlak, jadi konvergen.
KEKONVERGENAN BERSYARAT
Sebuah deret dinamakan konvergen bersyarat apabila konvergen tetapi deret divergen. |
Contoh
Deret harmonik ganti tanda 1- + - + … telah dibuktikan konvergen, tetapi deret 1+ + + + … divergen.
Jadi deret 1- + - + … konvergen bersyarat.
Latihan
Buktikan bahwa konvergen bersyarat.
SOAL-SOAL A.
Gunakan Uji Integral untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.
Gunakan Uji Banding Limit untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.
Gunakan Uji Hasilbagi untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan deret berikut.
SOAL-SOAL B.
Buktikan bahwa deret ganti tanda berikut konvergen.
Buktikan bahwa deret berikut konvergen mutlak.
Tentukan apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.
DERET PANGKAT
Sebuah deret pangkat dalam x berbentuk
= ao + a1x + a2x2 + a3x3 + …
(aox0 dianggap sebagai ao, juga jika x = 0).
Pertanyaan yang biasa muncul untuk deret pangkat diantaranya adalah : untuk nilai x manakah sebuah deret pangkat konvergen?
Contoh
Untuk nilai-nilai x manakah deret pangkat
konvergen dan berapakah jumlahnya?
Penyelesaian
Deret tersebut telah kita kenal sebagai deret geometri apabila x diganti dengan r, konvergen apabila – 1 < r < 1 dengan jumlah .
HIMPUNAN KEKONVERGENAN
Himpunan bilangan real yang anggota-anggotanya membentuk sebuah deret konvergen dinamakan himpunan kekonvergenan.
Pada contoh di atas himpunan kekonvergenan deret geometri
adalah selang – 1 < x < 1.
Contoh
Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret
Penyelesaian
Sekian suku deret itu adalah bilangan negatif apabila x negatif, maka untuk menguji kekonvergenan mutlak deret tersebut kita dapat menggunakan Uji Hasilbagi Mutlak.
deret konvergen mutlak (jadi konvergen) apabila
p =< 1 Û |x| < 2
Û - 2 < x < 2
sedangkan untuk x = - 2 atau x = 2 Uji Hasilbagi Mutlak gagal karena p = 1. Tetapi jika x = -2 deret itu merupakan deret harmonik ganti tanda, yang sudah kita ketahui konvergen dan untuk x = 2 deret itu adalah deret harmonik, divergen.
Jadi himpunan kekonvergenan deret adalah – 2 £ x < 2.
Latihan
- Tentukan himpunan kekonvergenan deret
- Tentukan himpunan kekonvergenan deret
TEOREMA 1 |
Himpunan kekonvergenan sebuah deret pangkat selalu berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut |
|
|
|
Jika kondisi a yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah 0
Jika kondisi b yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah R
Jika kondisi c yang dipenuhi maka dinamakan radius kekonvergenan adalah ¥
TEOREMA 2 Deret pangkat konvergen mutlak pada bagian dalam selang kekonvergenannya. |
Pada ujung selang dapat juga konvergen tetatpi tidak selalu benar.
DERET PANGKAT DALAM x – a
Sebuah deret berbentuk
dinamakan deret pangkat dalam x – a.
Sifat-sifat yang berlaku pada deret pangkat dalam x berlaku juga untuk deret pangkat dalam x- a. Khususnya, himpunan kekonvergenan deret pangkat dalam x – a berbentuk salah satu selang berikut
- Satu titik x = a
- Selang (a – R, a +R), mungkin ditambah salah satu atau kedua ujung selang.
- Seluruh himpunan bilangan real
Contoh
Tentukanlah himpunan kekonvergenan deret
Penyelesaian
Deret konvergen mutlak apabila < 1 Û - 1 < x – 1 < 1
Û 0 < x < 2
Untuk x = 0 dan x = 2 deret bahkan konvergen mutlak. Jadi himpunan kekonvergenan deret adalah selang 0 £ x £ 2
SOAL – SOAL
Dalam soal berikut tentukan rumus suku ke-n deret yang diketahui, kemudian tentukan pula himpunan kekonvergenan deret dengan Uji Hasilbagi Mutlak.
Pak,,
BalasHapusbanyakin donk contoh soalnya..
saya benar benar bingung belajar analisis real ini..
hikshiks..
dikelas di suruh bahas soal mumet mumet..