PRADMAT

Sabtu, 21 November 2009

Pengertian Vektor

Pengertian Vektor
Besaran yang memilki besar atau nilai, dan arah dinamakan besaran vektor. Sedangkan besaran yang hanya memilik besar atau nilai saja dinamakan besaran skalar.

Beberapa contoh besaran vektor dan besaran skalar
Besaran vektor: berat, kecepatan, percepatan, gaya dll
Besaran skalar: massa, panjang, suhu, volume dll
Secara geometri vektor adalah ruas garis berarah, panjang ruas garis mewakili besar vektor dan tanda panah menunjukkan arah vektor.

Sebuah vektor dilambangkan dengan huruf kecil: bergaris bawah atau atas, ditebalkan, atau berdasarkan nama titik pangkal dan titik ujung vektor.
a, $\bar{a}$ , a dibaca vektor a. Sebuah vektor dengan pangkal di titik A dan ujung di titik B dapat dinotasikan dengan $\bar{AB}$ , kita akan melambangkan vektor dengan huruf kecil bergaris bawah atau bergaris atas.
Vektor dinyatakan dengan:

gambar ruas garis berarah

vektor a

pasangan bilangan, contoh

            vektor di R₂ (pada bidang): (1, 2), (-1, 4), ...
           vektor di R₃ (dalam ruang): (2, 1, 3), (-2, 4, 5), ...
            dari contoh vektor (2, 1, 3): 2, 1, dan 3 disebut komponen ke-1, ke-2, dan ke-3 dari vektor itu.

Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila besarnya dan arahnya sama.
Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ dan $\bar{b}=(b_{1},\ b_{2})$ adalah vektor dalam bidang, a = b jika dan hanya jika a₁ = b₁ dan a₂ = b₂.
Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ dan $\bar{b}=(b_{1},\ b_{2},\ b_{3})$ adalah vektor dalam ruang, a = b jika dan hanya jika a₁ = b₁, a₂ = b₂dan a₃ = b₃.

Negatif Sebuah Vektor
Negatif dari a ditulis -a adalah vektor yang besarnya sama dengan besar a tetapi arahnya berlawanan. Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ vektor dalam bidang, negatif dari a adalah $-\bar{a}=(-a_{1},\ -a_{2})$ .

Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ vektor dalam ruang, negatif dari a adalah $-\bar{a}=(-a_{1},\ -a_{2},\ -a_{3})$ .

Vektor Posisi
Vektor posisi dari titik A adalah vektor yang pangkalnya di titik O dan ujungnya di titik A biasanya dinamai sebagai a, misalkan titik A(2, 4) maka vektor posisi titik A adalah $\bar{a}=(2,\ 4)$ .
Apabila A(a₁, a₂) titik pada bidang maka vektor posisi titik A adalah $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ dan apabila A(a₁, a₂, a₃) titik dalam ruang maka vektor posisi dari titik A adalah $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ .
Berdasarkan definisi vektor posisi dan kesamaan dua vektor maka $\bar{AB}$ dengan A(a₁, a₂, a₃) dan B(b₁, b₂,b₃) dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya $\bar{AB} =(b_{1}-a_{1},\ b_{2}-a_{2},\ b_{3}-a_{3})$ , bentuk ini dapat juga dibuktikan dengan prinsip penjumlah vektor.

Besar Vektor
Misalkan $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2})$ maka besar vektor a adalah $\left| \bar{a} \right|=\sqrt{\ a_{1}\ ^{2} + {\ a_{2}\ ^2}$
Jika $\bar{a}=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ maka besar vektor a adalah $\left| \bar{a} \right|=\sqrt{\ a_{1}\ ^{2} + {\ a_{2}\ ^2}+{\ a_{3}\ ^2}$

Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya sama dengan 1. Vektor a = (1, 0, 0) adalah contoh vektor satuan karena besarnya sama dengan $\sqrt{1^{2} + 0^{2} +0^{2}} = 1$

Perkalian Skalar terhadap Vektor

Perkalian Skalar terhadap Vektor
Perhatikan ilustrai berikut,

2a adalah perkalian antara skalar 2 dengan vektor a, 2a adalah vektor yang besarnya 2 kali besar a dan arahnya sama denga arah a.
$\frac{1}{2}\bar{a}$ adalah vektor yang besarnya $\frac{1}{2}$ kali besar a dan arahnya sama dengan arah a.
- 2a adalah vektor yang besarnya 2 kali besar a tetapi arahnya berlawanan dengan arah a.

Jadi jika a sebuah vektor pada bidang maupun pada ruang dan k skalar real maka ka adalah vektor yang besarnya |k| kali besar a dan arahnya:

searah a jika k > 0
berlawanan dengan arah a jika k < 0

Jika a = (a₁, a₂), dan k skalar maka ka = k(a₁, a₂) = (ka₁, ka₂).
Jika a = (a₁, a₂, a₃), dan k skalar maka ka = k(a₁, a₂, a₃) = (ka₁, ka₂, ka₃).

Contoh
Diketahui a = (2, 2, 1), tentukan |a|, 3a dan |3a|.

Jawab
$\left| \bar{a} \right| = \sqrt {2^2+2^2+1^2 }= \sqrt {9}=3$
3a = 3(2, 2, 1) = (6, 6, 3) dan
$\left|\ 3 \bar {a} \right| = \sqrt{6^2 +6^2 + 3^2} = \sqrt{3^2.2^2 +3^2.2^2 + 3^2}$
$=\ 3 \sqrt{2^2 +2^2 + 1}= 3.3 = 9$
$= \3 \left|\bar a \right|$

Sifat-sifat Perkalian Skalar terhadap Vektor
Misalkan a, b keduanya vektor pada bidang atau keduanya vektor dalam ruang, k, dan l skalar maka berlaku sifat,

ka + kb = k(a + b)
ka + la = (k + l)a
k(la) = (kl)a

Silahkan Anda tunjukkan kebenaran sifat-sifat ini dengan contoh.

Penjumlahan Vektor

Penjumlahan Vektor
Secara geometri

untuk mencari a + b, impitkan pangkal b pada ujung a kemudian hubungkan pangkal a dan ujung b maka vektor yang diperoleh merupakan jumlah a dan b, cara menjumlahkan vektor seperti ini dinamakan metoda segitiga.

Menjumlahkan vektor dalam Komponen-Komponennya
Jika $\bar{a}=(\ a_{1}, \ a_{2})$ dan $\bar{b}=(\ b_{1}, \ b_{2})$ masing-masing vektor pada bidang maka $\bar{a}+ \bar{b}= (a_{1}+ b_{1},\ a_{2}+ b_{2})$ .

Jika $\bar{a}=(\ a_{1},\ a_{2},\ a_{3})$ ,
dan $\bar {b}=(\ b_{1},\ b_{2},\ b_{3})$ masing-masing vektor dalam ruang maka,
$\bar{a}+\bar{b}= (a_{1}+ b_{1},\ a_{2}+ b_{2},\ a_{3}+ b_{3})$ .

Sifat-sifat Penjumlahan Vektor
misalkan a, b, dan c ketiga-tiganya vektor pada bidang atau ketiga-tiganya vektor dalam ruang, maka berlaku,

a + b = b + a (bersifat komutatif)
a + (b + c) = (a + b) + c (bersifat asosiatf)
ada vektor O, sehingga untuk setiap a berlaku a + O = O + a = a
untuk setiap a ada -a sehingga a + -a = -a + a = O

Pengurangan Vektor
Vektor a dikurangi vektor b didefinisikan a - b = a + (-b).
Misalkan $\bar{a}=(\ a_{1}, \ a_{2}, \ a_{3})$ dan $\bar{b}=(\ b_{1}, \ b_{2},\ b_{3})$ maka $\bar{a}- \bar{b}= \bar{a}+(- \bar{b})=(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})+(-b_{1},\ -b_{2},\ -b_{3})$
$= (a_{1}-b_{1},\ a_{2}-b_{2},\ a_{3}-b_{3})$
Pengurangan vektor secara geometri diilustrasikan sebagai berikut,

perhatikan bahwa -b panjangnya sama dengan b tetapi arahnya berlawanan dengan arah b, dan berdasarkan definisi a - b = a + -b

Rumus Perbandingan

Rumus Perbandingan
Kasus 1

Titik P terletak pada ruas garis AB, kita katakan bahwa P membagi AB di dalam dengan perbandingan
AP : PB = 3 : 2, dari perbandingan ini tentu saja kita dapat menyatakan bentuk perbandingan-perbandingan lainnya yang ekuivalen. Misalnya,
   AP : AB = 3 : 5
   AB : BP = 5 : -2 atau AB : BP = -5 : 2, tanda negatif muncul karena AB dan BP berlawanan arah.
   $AP=\frac{3}{2}PB$
Kasus 2

Titik P terletak pada perpanjangan AB, untuk kasus ini kita katakan bahwa P membangi AB di luar dengan perbandingan AP : PB = 6 : - 2, dalam hal ini arah AP ke kanan kita pilih positif dan arah PB ke kiri kita beri tanda negatif. Silahkan tuliskan perbandingan-perbandingan lain yang ekuivalen.

Perbandingan Vektor

Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan AP : PB = m : n, kemudian kita nyatakan vektor OA, OP, dan OB berturut-turut sebagai a, p, b. Kita akan menyatakan p dalam a dan b, serta koordinat titik P jika A, B, dan P ketiga-tiganya titik pada bidang atau ketiga-tiganya titik dalam ruang.

Sekarang kita pandang AP dan PB sebagai vektor, dari perbandingan AP : PB = m : n maka,

   $\bar{AP}=\frac{m}{n}\bar{PB}$
   $\bar{p}-\bar{a}=\frac{m}{n}(\bar{b}-\bar{p})$
   $n\bar{p}+m\bar{p}=n\bar{a}+m\bar{b}$
   $(m+n)\bar{p}=n\bar{a}+m\bar{b}$
   $\bar {p}= \frac{n\bar{a}+m\bar{b}} {m+n}$

Rumus ini berlaku juga untuk kasus P membagi AB di luar atau P terletak pada perpanjangan AB, dengan memilih m atau n bertanda negatif.

Menyatakan perbandingan AP : PB = m : n dalam bentuk,

mungkin dapat membantu Anda untuk menuliskan kembali rumus perbandingan vektor.

Contoh Soal
Diketahui titik-titik dalam ruang A(6, -7, 2), B(2, -3, 6). Apabila titik P membagi AB dengan perbandingan AP : PB = 3 : 1, tentukanlah p dalam komponennya dan koordinat titik P.

Jawab
Kita tetapkan a = (6, -7, 2) sebagai vektor posisi titik A, b = (2, -3, 6) vektor posisi titik B, dan p vektor posisi titik P. Dari perbandingan yang diberikan AP : PB = 3 : 1 maka
$\bar{p}=\frac{3b+a}{3+1}=\frac{3(2,\ -3,\ 6)+(6,\ -7,\ 2)}{4}$

$\bar{p}=\frac{(6,\ -9,\ 18)+(6,\ - 7,\ 2)}{4}=\frac{(12,\ -16,\ 20)}{4}$

$\bar{p}=(3,\ -4,\ 5)$
Karena p merupakan vektor posisi titik P maka koordinat titik P adalah (3, -4, 5).
Anda bisa menggunakan cara lain untuk meyelesaiakn soal ini, dengan mengubah perbandingan
AP : PB = 3 : 1 dalam bentuk yang ekuivalen $AP=\frac{3}{4}AB$ silahkan dilanjutkan ...

Sabtu, 14 November 2009

Tugas Mandiri Tidak Terstruktur

Minggu, 01 November 2009

Integral Parsial

Materi integral parsial:
Klik di sini

Senin, 12 Oktober 2009

Nilai Tengah Semester Ganjil

Untuk para siswa kelas XII-IPA (1 sampai dengan 3) SMA Negeri 1 Cikarang Utara - Kabupaten Bekasi Anda dapat mendownload nilai rata-rata harian, nilai UTS, dan nilai akhir tengah semester ganjil Mata pelajaran Matematika.

Download

Minggu, 04 Oktober 2009

Luas Segitiga dengan Determinan

Menetukan Luas Segitiga dengan Determinan

Salah satu aplikasi determinan matriks selain untuk menyelesaikan SPL dua variabel atau tiga variabel, juga untuk menghitung luas segitiga pada bidang Cartesius apabila koordinat titik sudut - titik sudutnya diketahui.

Jika Anda ingin mengetahui lebih lanjut silahkan klik di sini
Selamat belajar ....

Jumat, 02 Oktober 2009

Pencerminan terhadap Garis y = mx + c

Jenis transformasi refleksi yang telah di bahas dalam proses belajar adalah:

Refleksi terhadap sumbu koordinat
Refleksi terhadap garis y = x dan y = - x
Refleksi terhadap garis x = k dan y = h

Refleksi terhadap garis y = mx + c merupakan materi pengayaan, jika Anda penasaran
selengkapnya klik di sini.

Selamat belajar....