PRADMAT

Senin, 01 Februari 2010

Barisan Aritmetika

Barisan Aritmetika
Contoh barisan aritmetika:
   a. -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...
   b. 10, 7, 4, 1, -2, -5, ...
$u_{1},u_{2}, u_{3}, u_{4}, \ ...\, u_{n}$ disebut barisan aritmetika apabila
$u_{2}\ - \ u_{1}\ = \ u_{3}\ - \ u_{2}\ = \ u_{4}\ - \ u_{3}\ = \ ... \ = \ u_{n}\ - \ u_{n-1}\ = \ b \$ , dengan b bilangan real disebut beda. Karena sifat ini maka dapat dibuktikan bahwa:
$u_{n} \ = \ a + (n-1)b \$ , dengan a = $u_{1}$ atau suku pertama, persamaan ini dinamakan rumus suku ke-n barisan aritmetika.
Varians Rumus Suku ke-n barisan aritmetika:
   1. $\ u_{n} \ = \ bn + (a-b)\$
   2. $\ u_{n} \ = \ bn + c\ ,dengan\ c \ = a-b$
dari varians rumus 2) b adalah beda barisan, b + c = a suku ke-1 barisan

Contoh:
   1. Tentukan rumus suku ke-n barisan: -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...
Penyelesaian
   Dari barisan itu diketahui a = -2, dan b = 0 - (-2) = 2 maka rumus suku ke-n barisan itu adalah:
   $u_{n}\ = \ 2n + (-2 - 2)\ = \ 2n - 4 \$

   2. Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmetika $u_{n} = 8-3n$ . Tentukan beda dan suku pertama barisan        itu.
Penyelesaian
    Beda barisan adalah koefisien dari n pada rumus $u_{n}$ , jadi b = -3, dan suku pertama = 8 - 3 = 5

Suku Tengah
Apabila banyak suku pada suatu barisan aritmetika ganji, maka barisan itu memiliki suku tengah $u_{\frac{n+1}{2} }$ . Misalnya barisan aritmetika dengan banyak suku 19 maka suku ke-10 adalah suku tengahnya.
Berdasarkan rumus suku ke-n barisan aritmetika, suku tengah dapat dirumuskan sebagai berikut:
$u_{\frac{n+1}{2} }=b\left( \frac{n+1}{2}\right ) +(a-b)=\frac{b(n+1)+2(a-b)}{2}= \frac{bn+b+2a-2b}{2} =\frac{bn+(a-b)+a}{2}$
$u_{\frac{n+1}{2} }=\frac{u_{n}+u_{1} }{2}$
Perhatikan contoh pengembangan rumus suku tengah berikut:

$\frac{u_{3} +u_{11}}{2}= u_{\frac{3+11}{2} }=u_{7}$ atau $u_{3}+u_{11}=2u_{7}$
$u_{4}+ u_{20}=2u_{12}$
$u_{i}+ u_{j}=2u_{\frac{i+j}{2} }$ , untuk i, dan j dua-duanya ganjil atau i, dan j dua-duanya genap.

Contoh
   Pada sebuah barisan aritmetika diketahui suku pertamanya -8 dan beda sama dengan 3. Tentukan suku        tengah dari 15 suku pertama barisan itu.
Penyelesaian
Cara 1
    Suku ke-15 barisan itu adalah 3(15) + (-8 - 3) = 34. Suku tengah sama dengan $\frac{34+(-8)}{2}=13$
Cara 2
    Suku tengah barisan itu adalah suku ke-8, maka $u_{8}=3.8 + (-8-3) =13$

Sisipan
Di antara dua buah bilangan p dan q disipkan k buah bilangan dengan k bilangan asli sehingga terbentuk barisan aritmetika, dari kasus ini yang dapat kita nyatakan adalah:
1. suku pertama barisan sama dengan p
2. suku terkahir barisan sama dengan q
3. banyaknya suku sama dengan (k + 2)
Berdasarkan fakta-fakta ini maka dapat dirumuskan :
$q=u_{k+2} = p + b( k+2-1) = p + b(k + 1) \Leftrightarrow b(k + 1)=q-p$
Jadi $b=\frac{q-p}{k+1}$
Contoh:
   Di antara -3 dan 21 disisipkan 7 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika. Tentukan:
   a. beda barisan
   b. rumus suku ke-n barisan
Penyelesaian
    a. $b=\frac{q-p}{k+1}= \frac{21-(-3)}{7+1}=3$
    b. $u_{n}=3n+(-3 -3)= 3n - 6$

Jumat, 29 Januari 2010

Soal Transformasi Geometri

Meliputi seluruh materi transformasi geometri: translasi, rotasi, refleksi, dilatasi, dan komposisi transformasi. Varians dan tingkat kesulitan soal, bervariatif.
Silahkan download

Selasa, 08 Desember 2009

Soal - Soal Vektor

Soal - Soal Vektor dan Solusi

Soal - soal pilihan, bervariatif dilihat dari tipe dan tingkat kesukarannya, dari soal mudah sampai soal sulit. Penyelesaian dengan cara yang taktis, sistematis sehingga mudah dipahami, Anda tertarik untuk mempelajarinya?

Sok atuh di download

Minggu, 06 Desember 2009

Transformasi Geometri

Transformasi Geometri
Pembahasan materi pembelajaran "Transformasi Geometri" disajikan oleh e-dukasi berupa paket program, isinya meliputi:
   1. Standar Kompetensi, dan Kompetensi Dasar
    2. Materi Pembelajaran: Translasi, Rotasi, Pencerminan, dan Dilatasi
    3. Latihan
    4. Simulasi
    5. Tes
Paket program ini disajikan secara menarik, jika Anda ingin mempelajari

Selamat belajar, semoga sukses

Senin, 30 November 2009

Permendiknas No. 75 Tahun 2009 tentang Ujian Nasional 2010

Memuat juga kisi-kisi ujian nasional untuk seluruh mata pelajaran yang di UN-kan.

Download

Senin, 23 November 2009

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi Ortogonal
Proyeksi Skalar Ortogonal

Pada gambar 1, titik ujung a diproyeksikan terhadap b kemudian dibentuk c. Karena c diperoleh dengan cara memproyeksikan a terhadap b maka c dinamakan vektor proyeksi. Kita akan mencari hubungan |c| dengan |a| dan |b|. Dengan perbandingan trigonometri kita peroleh hubungan,
   |c| = |a| cos t    (1), dari rumus sudut antara dua vektor diketahui bahwa
   $cos\ t=\frac{\bar{a}\ .\bar{b}}{|a|\ |b|}$ (2), subtitusi rumus (2) pada rumus (1) maka diperoleh,
   $\left| \bar{c} \right| =\left| \bar{a} \right| \frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| a \right|\ \left| b \right| }$ , karena besar sebuah vektor selalu positif atau sama dengan nol sedangkan a . b mungkin negatif apabila t sudut antara a dan b berada pada interval $90^{\circ } <\ t\leq180^{\circ }$ seperti ditunjukkan oleh gambar (2) maka besar atau panjang vektor proyeksi a pada b dirumuskan dengan,
   $\left| \bar{c} \right| = \left| \frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| b \right| } \right|$
Sedangkan bentuk
   $\frac{\bar{a}\ . \bar{b}} {\left| b \right| }$ (tanda nilai mutlak dihilangkan) dinamakan proyeksi skalar a pada b, nilainya mungkin negatif, nol, atau positif.

Proyeksi Ortogonal Sebuah Vektor pada Vektor Lain
Pada bagian ini kita akan mencari hubungan antara c, a dan b.
Perhatikan kembali gambar di atas,

c searah dengan b jika $0^{\circ } \leq\ t\ <90^{\circ }$ ditunjukkan oleh gambar (1)

c berlawanan arahdengan b jika $90^{\circ } <\ t\leq180^{\circ }$ ditunjukkan oleh gambar (2)

dari dua kondisi tadi maka c = kb dengan k skalar real.

d = c - a dan d tegak lurus b akibatnya
d . b = 0 $\Rightarrow$ (c - a).b = 0 $\Rightarrow$ (kb - a). b = 0 $\Rightarrow$ kb.b - a . b = 0 $\Rightarrow$ k|b|² = a . b

$k=\frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} }$ maka $\bar c=\left( \frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} } \right) \bar b$

Jadi apabila c merupakan proyeksi a terhadap b maka,
$\bar c=\left( \frac{\bar{a}\ . \bar{b}}{|b|^{2} } \right) \bar b$

Minggu, 22 November 2009

Perkalian Skalar**

Perkalian Skalar

a dan b membentuk sudut sebesar t, perkalian skalar antara a dan b didefinisikan sebagai berikut,
a . b = |a||b| cos t
Keadaan khusus perkalian skalar,

Jika t = 0^o maka a . b = |a||b|
Jika t = 90^o maka a . b = 0
Jika t = 180^o maka a . b = - |a||b|

Dapat dibuktikan apabila a =(a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka,
a . b = (a₁, a₂, a₃).(b₁, b₂, b₃) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Perhatikan bahwa hasil perkalian skalar dua vektro adalah skalar.

Sifat-sifat Perkalian skalar
Misalkan a, b, c ketiganya vektor pada bidang atau ketiganya vektor dalam ruang, dan k skalar real maka berlaku,

a.b = b.a (komutatif)
a.(b + c) = a.b + a.c (distributif)
a.(b - c) = a.b - a.c (distributif)
ka . b = k(a . b) = a . kb

Contoh

Hitunglah hasil kali skalar vektor AB dan vektor AC

Jawab
|AB| = 4, |AC| = 5 (gunakan phytagoras), walaupun besar sudut BAC (sudut antara AB dan AC) tidak diketahui tetapi dengan perbandingan trigonometri diperoleh bahwa $cos\ BAC= \frac{4}{5}$ , maka
AB . AC = |AB||AC| cos BAC = 4.5. $\frac{4}{5}$ = 16
Sudut antara Dua Vektor
Dari definisi a . b = |a||b| cos t maka $cos\ t = \frac{\bar a\ . \bar b}{\left| a \right|\ \left| b \right| }$
Perhatikan bahwa sudut antara dua vektor adalah sudut yang dibentuk dengan cara mengimpitkan titik pangkal kedua vektor itu.

Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(1, 1, 2), B(0, -1, -2), dan C(2, 1, 2). Tentukanlah cosinus sudut ABC.
Jawab
Sudut ABC dibentuk oleh vektor BA dan vektor BC (pembentuknya bukan vektor AB dan BC).
Masing-masing vektor dalam komponennya adalah BA = a - b = (1, 1, 2) - (0, -1, -2) = (1, 2, 4),
BC = c - b = (2, 1, 2) - (0, -1, -2) = (2, 2, 4). Maka
$cos\ ABC= \frac{\bar {BA}\ . \bar{BC}}{|BA|\ |BC|}=\frac{(1,\ 2,\ 4)\ .\ (2,\ 2, \ 4)}{\sqrt{21}\sqrt{24} }$

$= \frac{1.2+2.2+4.4}{\sqrt{3.7}\sqrt{3.4.2}$

$=\frac{22}{6\sqrt{14}} = \frac{11}{3\sqrt{14} }$

Sifat Ortogonalis
Misalkan a dan b keduanya bukan vektor nol. Jika a tegak lurus terhadap b maka a . b = 0 mengapa?
Berikut adalah contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan sifat ortogonalis.

Diketahui a = ti - 3j + 2k tegak lurus terhadap b = ti + tj - 2k. Tentukan nilai t.
Jawab
Lebih mudah menyatakan a = (t, -3, 2) dan b = (t, t, -2), karena a tegak lurus b maka a . b = 0
t² - 3t -4 = 0 $\Leftrightarrow$ (t - 4)(t + 1) = 0, jadi nilai t = 4 atau t = -1.

Sabtu, 21 November 2009

Pengertian Matriks

Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang atau persegi berdasarkan baris dan kolom dengan pembatas di sebelah kiri dan kanan kurung siku atau kurung lengkung.

Contoh Matriks

Sebuah matriks dinamai menggunakan huruf kapital misalnya: A, B, C, ...
Bilangan penyusun matriks dinamakan unsur atau elemen atau entri matriks. Posisi dari sebuah unsur matriks dinyatakan dalam baris dan kolom. Pada contoh matriks di atas

   2 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-1
   3 adalah unsur baris ke-1 kolom ke-2
   0 merupakan unsur barsi ke-2 kolom ke-1
   -1 unsur baris ke-2 kolom ke-2

Secara umum unsur baris ke-i kolom ke-j unsur matriks A ditulis atau dinotasikan dengan a_ij.
Ukuran sebuah matriks dinamakan ordo matriks, dinyatakan sebagai m x n dengan,
m menyatakan banyak baris, dan
n menyatakan banyak kolom.
Matriks contoh di atas berordo 2 x 2

Jenis Matriks Khusus

Jenis Matriks Khusus

1. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
    Matriks persegi adalah matriks yang memilki banyak baris sama dengan banyak kolom.
    Contoh matriks persegi 3 x 3

    4, 2, 3 adalah unsur-unsur diagonal utama, sedangkan -5, 2, 9 adalah unsur-unsur diagonal samping.
    Sebuah matriks persegi A berordo n x n disebut juga sebagai matriks berordo n.

2. Matriks Segitiga

Sebuah matriks persegi dengan semua unsur di bawah diagonal utama sama dengan nol dinamakan matriks segitiga atas. Sedangkan matriks persegi dengan semua unsur di atas diagonal utama sama dengan nol dinamakan matriks segitiga bawah.

Contoh matriks segitiga atas

    Contoh matriks segitiga bawah

3. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua unsurnya sama dengan nol, kecuali unsur diagonal utama tidak semuanya nol.

Contoh matriks diagonal

4. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks satuan adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya sama dengan 1.

Matriks satuan ordo 2 dinotasikan dengan I₂

                              Matriks satuan ordo 3 dinotasikan dengan I₃
5. Matriks Transpos
   Misalkan

maka transpose dari matriks A adalah

Jika A matriks berordo m x n, maka transpos dari A dinotasikan dengan A^t adalah matriks yang unsur- unsurnya diperoleh dari matriks A dengan cara menyusun unsur-unsur baris ke 1, 2, ..., m matriks A menjadi unsur-unsur kolom ke 1, 2, 3, ..., m pada A^t. Jadi matriks A^t berordo n x m.

6. Kesamaan Dua Matriks
Matriks A dan B dikatakan sama apabila:

Matriks A dan B berordo sama, dan
unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan B bernilai sama.

7. Negatif dari Sebuah Matriks
Negatif dari matriks A adalah -A yaitu matriks yang unsur-unsurnya negatif dari unsur-unsur matriks A.